%23%20gallery_category%3A%20Allpass%20FDNs%0A%23%20gallery_title%3A%20Gardner's%20nested%20allpass%20FDN%0A%23%20gallery_description%3A%20Recreate%20Gardner's%20SISO%20reverberator%20by%20iteratively%20nesting%20feedforward%20and%20feedback%20allpass%20sections.%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Gardner's%20Nested%20Allpass%20FDN%0A%0A%20%20%20%20Example%20for%20the%20nested%20allpass%20structure%3A%20an%20FDN%20built%20by%20iteratively%20nesting%20a%20feedforward%2Fback%20allpass%20around%20the%20previous%20system.%20SISO%20(single%20input%2C%20single%20output).%0A%0A%20%20%20%20**Reference%3A**%20*%7BpyFDN.paper_link(%22Gardner1992RealtimeMultichannelRoom%22)%7D*.%0A%0A%20%20%20%20See%20also%3A%20%7BpyFDN.paper_link(%22Allpass_Feedback_Delay_Networks%22)%7D.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20import%20pyFDN%0A%0A%20%20%20%20np.random.seed(42)%0A%20%20%20%20fs%20%3D%2048000%0A%20%20%20%20return%20fs%2C%20np%2C%20pyFDN%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Build%20nested%20allpass%20FDN%0A%0A%20%20%20%20%60nested_allpass%60%20takes%20one%20gain%20per%20nesting%20stage%20and%20returns%20the%20delay%20state-space%20system%20that%20realises%20the%20whole%20nest.%20The%20delays%20are%20drawn%20at%20random%20%E2%80%94%20nesting%20does%20not%20constrain%20them%2C%20since%20the%20structure%20is%20uniallpass.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20N%20%3D%206%0A%20%20%20%20g%20%3D%20np.array(%5B0.3%2C%200.4%2C%200.5%2C%200.6%2C%200.7%2C%200.8%5D)%0A%20%20%20%20delays%20%3D%20np.random.randint(200%2C%201000%2C%20size%3DN)%0A%0A%20%20%20%20A%2C%20B%2C%20C%2C%20D%20%3D%20pyFDN.nested_allpass(g)%0A%20%20%20%20print(%22A%20shape%3A%22%2C%20A.shape)%0A%20%20%20%20print(%22B%20shape%3A%22%2C%20B.shape)%0A%20%20%20%20print(%22C%20shape%3A%22%2C%20C.shape)%0A%20%20%20%20print(%22D%20shape%3A%22%2C%20D.shape)%0A%20%20%20%20return%20A%2C%20B%2C%20C%2C%20D%2C%20delays%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20system%20matrix%0A%0A%20%20%20%20%60%5BA%2C%20B%3B%20C%2C%20D%5D%60%20as%20one%20block%20heatmap.%20Nesting%20shows%20up%20as%20structure%20in%20%60A%60%3A%20each%20section's%20feedback%20sits%20on%20the%20diagonal%2C%20and%20the%20coupling%20into%20the%20section%20it%20wraps%20sits%20just%20off%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20B%2C%20C%2C%20D%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20pyFDN.plot_system_matrix(A%2C%20B%2C%20C%2C%20D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Test%3A%20uniallpass%0A%0A%20%20%20%20Check%20that%20the%20FDN%20is%20uniallpass%20(lossless%20with%20diagonal%20Lyapunov%20matrix).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20B%2C%20C%2C%20D%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20is_uniallpass%2C%20_P%20%3D%20pyFDN.is_uniallpass(A%2C%20B%2C%20C%2C%20D)%0A%20%20%20%20assert%20is_uniallpass%2C%20%22Expected%20uniallpass%22%0A%20%20%20%20print(%22Uniallpass%3A%20OK%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Impulse%20response%0A%0A%20%20%20%20Four%20seconds%20of%20the%20nested%20cascade.%20Nesting%20an%20allpass%20inside%20another%20one%20multiplies%20their%20echo%20patterns%20rather%20than%20concatenating%20them%2C%20which%20is%20what%20buys%20Gardner's%20structure%20its%20density%20from%20so%20few%20sections.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20B%2C%20C%2C%20D%2C%20delays%2C%20fs%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20impulse_response%20%3D%20pyFDN.dss_to_impz(4%20*%20fs%2C%20delays%2C%20A%2C%20B%2C%20C%2C%20D).squeeze()%0A%0A%20%20%20%20pyFDN.plot_impulse_response(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20impulse_response%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fs%3Dfs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Nested%20allpass%20FDN%20%E2%80%94%20impulse%20response%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(impulse_response%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Spectrogram%0A%0A%20%20%20%20Flat%20on%20average%20%E2%80%94%20it%20is%20allpass%20%E2%80%94%20but%20the%20time%20structure%20the%20ear%20hears%20as%20ringing%20is%20visible%20here%20and%20nowhere%20in%20the%20magnitude%20response.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fs%2C%20impulse_response%2C%20mo%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20pyFDN.plot_spectrogram(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20impulse_response%2C%20fs%2C%20title%3D%22Nested%20allpass%20FDN%20%E2%80%94%20spectrogram%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_fig%2C%20mo.audio(impulse_response%2C%20fs)%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A
a9203ab81f80c1925c262b7fe11292a1