example kronecker matrix

%23%20gallery_category%3A%20Feedback%20Matrices%0A%23%20gallery_description%3A%20Build%20lossless%20feedback%20matrices%20from%20Kronecker%20products%20of%202x2%20kernels%2C%20then%20use%20single%20kernel%20angles%20to%20control%20stereo%20cross-coupling%20and%20time-varying%20modulation.%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Kronecker%20feedback%20matrices%0A%0A%20%20%20%20A%20feedback%20matrix%20has%20to%20be%20orthogonal%20to%20keep%20an%20FDN%20lossless%2C%20and%20that%20is%20normally%20the%20end%20of%20the%20story%3A%20pick%20Hadamard%2C%20pick%20a%20random%20orthogonal%20matrix%2C%20and%20leave%20it%20alone.%20Nudging%20one%20entry%20breaks%20orthogonality%2C%20so%20there%20is%20nothing%20to%20turn.%0A%0A%20%20%20%20The%20Kronecker%20construction%20gives%20the%20matrix%20knobs.%20An%20%5C(N%20%5Ctimes%20N%5C)%20matrix%20with%20%5C(N%20%3D%202%5EM%5C)%20is%20written%20as%20a%20Kronecker%20product%20of%20%5C(M%5C)%20two-by-two%20kernels%2C%20each%20carrying%20one%20angle%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CPsi_M%20%3D%20K_M%20%5Cotimes%20K_%7BM-1%7D%20%5Cotimes%20%5Cdots%20%5Cotimes%20K_1%2C%20%5Cqquad%20K_i%20%3D%20%5Cmathrm%7BRot%7D(%5Ctheta_i)%20%5C%20%5Ctext%7Bor%7D%5C%20%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BRef%7D%7D(%5Ctheta_i).%24%24%0A%0A%20%20%20%20Kronecker%20products%20of%20orthogonal%20matrices%20are%20orthogonal%2C%20so%20**every**%20setting%20of%20every%20angle%20is%20lossless%20%E2%80%94%20the%20angles%20can%20be%20swept%2C%20modulated%20at%20audio%20rate%2C%20or%20automated%2C%20and%20the%20FDN%20never%20stops%20being%20energy-preserving.%0A%0A%20%20%20%20What%20makes%20the%20angles%20useful%20rather%20than%20merely%20safe%20is%20that%20each%20one%20addresses%20one%20bit%20of%20the%20delay-line%20index.%20%5C(%5Ctheta_M%5C)%20mixes%20the%20two%20contiguous%20halves%20of%20the%20network%2C%20%5C(%5Ctheta_1%5C)%20mixes%20the%20even-%20and%20odd-indexed%20lines%2C%20and%20the%20levels%20in%20between%20sit%20at%20intermediate%20granularities.%20Setting%20one%20angle%20to%20zero%20cuts%20the%20network%20along%20that%20partition%3B%20sweeping%20it%20re-couples%20it%20continuously.%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20reproduces%20the%20configurations%20from%20the%20paper's%20companion%20site%3A%20the%20construction%20itself%2C%20the%20fast%20transform%20that%20applies%20it%2C%20the%20**stereo%20cross-coupling**%20sweep%20on%20%5C(%5Ctheta_M%5C)%2C%20and%20**matrix%20modulation**%20on%20%5C(%5Ctheta_%7BM-1%7D%5C).%20The%20selective-freeze%20configuration%20is%20deliberately%20left%20out.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20Reference%3A%20*%7BpyFDN.paper_link(%22Coppola2026FastParametric%22)%7D*.%20%3Cbr%2F%3E%0A%20%20%20%20Companion%20site%3A%20%3Chttps%3A%2F%2Fandrea-coppola-arturia.github.io%2Ffastparametricmatrices%2F%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20time%0A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy.linalg%20import%20hadamard%0A%20%20%20%20from%20scipy.signal%20import%20correlate%2C%20square%0A%0A%20%20%20%20import%20pyFDN%0A%20%20%20%20from%20pyFDN%20import%20td%0A%0A%20%20%20%20fs%20%3D%2048000%0A%0A%20%20%20%20%23%20Length%20of%20every%20rendered%20listening%20example.%20Three%20stereo%20players%20of%20this%0A%20%20%20%20%23%20length%20is%20about%206%20MB%20of%20cell%20output%2C%20inside%20marimo's%208%20MB%20default%20cap%0A%20%20%20%20%23%20(%60%60output_max_bytes%60%60)%3B%20six%206-second%20players%20would%20be%20over%20twice%20that.%0A%20%20%20%20AUDIO_SECONDS%20%3D%204.0%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20AUDIO_SECONDS%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20correlate%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hadamard%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20square%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20td%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20The%20construction%0A%0A%20%20%20%20Both%20kernel%20families%20are%20one-parameter%20families%20of%202x2%20orthogonal%20matrices%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathrm%7BRot%7D(%5Ctheta)%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Ccos%5Ctheta%20%26%20-%5Csin%5Ctheta%5C%5C%20%5Csin%5Ctheta%20%26%20%5Ccos%5Ctheta%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BRef%7D%7D(%5Ctheta)%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Ccos%5Ctheta%20%26%20%5Csin%5Ctheta%5C%5C%20%5Csin%5Ctheta%20%26%20-%5Ccos%5Ctheta%5Cend%7Bbmatrix%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%60pyFDN.kronecker_matrix%60%20takes%20the%20angles%20innermost%20first%20%E2%80%94%20%60angles%5B0%5D%60%20is%20%5C(%5Ctheta_1%5C)%2C%20%60angles%5B-1%5D%60%20is%20%5C(%5Ctheta_M%5C)%20%E2%80%94%20and%20folds%20them%20up%20with%20the%20recursion%20%5C(%5CPsi_m%20%3D%20K_m%20%5Cotimes%20%5CPsi_%7Bm-1%7D%5C).%20%60pyFDN.kronecker_angles%60%20is%20the%20convenience%20that%20fills%20in%20a%20default%20for%20every%20kernel%20and%20lets%20you%20name%20the%20ones%20you%20want%20to%20move.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Figure%205%20of%20the%20paper%3A%20N%20%3D%208%2C%20rotation%20kernels%2C%20theta%20%3D%20(0%2C%20pi%2F4%2C%20pi%2F8).%0A%20%20%20%20figure5%20%3D%20pyFDN.kronecker_matrix(%5B0.0%2C%20np.pi%20%2F%204%2C%20np.pi%20%2F%208%5D%2C%20%22rotation%22)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22orthogonal%3A%20%7Bnp.allclose(figure5%20%40%20figure5.T%2C%20np.eye(8))%7D%22)%0A%20%20%20%20print(np.round(figure5%2C%202))%0A%20%20%20%20return%20(figure5%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Two%20partitions%20are%20visible%20at%20once%20in%20that%20matrix.%20%5C(%5Ctheta_1%20%3D%200%5C)%20leaves%20the%20innermost%20kernel%20at%20the%20identity%2C%20so%20no%20even-indexed%20line%20ever%20feeds%20an%20odd-indexed%20one%20%E2%80%94%20the%20checkerboard%20of%20zeros.%20%5C(%5Ctheta_3%20%3D%20%5Cpi%2F8%5C)%20is%20small%20but%20non-zero%2C%20so%20the%20two%20halves%20are%20only%20weakly%20coupled%3A%20the%20corner%20blocks%20are%20the%20faint%20%5C(%5Cpm%200.27%5C)%20entries%20against%20%5C(%5Cpm%200.65%5C)%20inside%20each%20half.%0A%0A%20%20%20%20The%20two%20configurations%20are%20independent%2C%20which%20is%20the%20point%20of%20the%20parameterisation.%20A%20single%20matrix%20can%20be%20split%20even%2Fodd%20*and*%20partially%20coupled%20across%20the%20stereo%20halves%20at%20the%20same%20time.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(figure5%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20pyFDN.plot_matrix(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Kronecker%20matrix%20%CE%A8%E2%82%83%20at%20%CE%B8%20%3D%20(0%2C%20%CF%80%2F4%2C%20%CF%80%2F8)%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%CE%B8%E2%82%81%20%3D%200%20decouples%20even%20from%20odd%3B%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%CE%B8%E2%82%83%20%3D%20%CF%80%2F8%20leaves%20the%20halves%20weakly%20coupled%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20block_boundaries%3D%5B4%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Hadamard%20is%20one%20point%20in%20the%20family%0A%0A%20%20%20%20%5C(%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BRef%7D%7D(%5Cpi%2F4)%5C)%20is%20exactly%20the%20order-2%20Hadamard%20matrix%2C%20so%20putting%20every%20kernel%20there%20recovers%20the%20standard%20normalised%20Hadamard%20matrix%20of%20order%20%5C(N%5C).%20The%20parametric%20family%20therefore%20contains%20the%20usual%20FDN%20mixing%20matrix%20and%20morphs%20continuously%20away%20from%20it%20%E2%80%94%20with%20%60%22rotation%22%60%20kernels%20at%20the%20same%20angle%20you%20get%20the%20same%20equal-magnitude%20mixing%20under%20a%20different%20sign%20pattern.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(hadamard%2C%20np%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20_N%20%3D%2016%0A%20%20%20%20_reflection%20%3D%20pyFDN.kronecker_matrix(np.full(4%2C%20np.pi%20%2F%204)%2C%20%22reflection%22)%0A%20%20%20%20_rotation%20%3D%20pyFDN.kronecker_matrix(pyFDN.kronecker_angles(_N)%2C%20%22rotation%22)%0A%0A%20%20%20%20print(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22all%20reflection%20kernels%20at%20%CF%80%2F4%20%3D%3D%20Hadamard%3A%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bnp.allclose(_reflection%2C%20hadamard(_N)%20%2F%20np.sqrt(_N))%7D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20print(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22all%20rotation%20kernels%20at%20%CF%80%2F4%20mix%20with%20equal%20magnitude%3A%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bnp.allclose(np.abs(_rotation)%2C%201%20%2F%20np.sqrt(_N))%7D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Applying%20it%20in%20O(N%20log%E2%82%82%20N)%0A%0A%20%20%20%20The%20recursive%20structure%20is%20also%20a%20divide-and-conquer%20algorithm.%20%60pyFDN.kronecker_transform%60%20never%20forms%20the%20matrix%3A%20it%20runs%20%5C(%5Clog_2%20N%5C)%20butterfly%20passes%20over%20the%20channel%20vector%2C%20level%20%5C(i%5C)%20mixing%20the%20channel%20pairs%20that%20differ%20in%20bit%20%5C(i-1%5C)%20of%20their%20index.%20That%20is%20the%20same%20cost%20as%20the%20fast%20Walsh%E2%80%93Hadamard%20transform%2C%20but%20with%20%5C(M%5C)%20free%20parameters%20instead%20of%20none.%0A%0A%20%20%20%20It%20matters%20most%20when%20the%20angles%20move.%20A%20dense%20matrix%20product%20has%20to%20rebuild%20the%20whole%20%5C(N%20%5Ctimes%20N%5C)%20matrix%20whenever%20an%20angle%20changes%3B%20here%20a%20moving%20angle%20only%20changes%20the%20two-by-two%20kernel%20of%20one%20level%2C%20so%20per-sample%20modulation%20costs%20no%20more%20than%20a%20static%20matrix.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20pyFDN%2C%20time)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(0)%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C%20N%20%7C%20max%20abs.%20difference%20%7C%20dense%20(ms)%20%7C%20butterfly%20(ms)%20%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20for%20_M%20in%20(3%2C%204%2C%205%2C%206)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_size%20%3D%202**_M%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_angles%20%3D%20_rng.uniform(-np.pi%2C%20np.pi%2C%20_M)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_matrix%20%3D%20pyFDN.kronecker_matrix(_angles)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%20%3D%20_rng.standard_normal((4096%2C%20_size))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t0%20%3D%20time.perf_counter()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dense%20%3D%20_x%20%40%20_matrix.T%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dense_time%20%3D%20time.perf_counter()%20-%20_t0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t0%20%3D%20time.perf_counter()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fast%20%3D%20pyFDN.kronecker_transform(_x%2C%20_angles)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fast_time%20%3D%20time.perf_counter()%20-%20_t0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%7B_size%7D%20%7C%20%7Bnp.abs(_dense%20-%20_fast).max()%3A.1e%7D%20%7C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B_dense_time%20*%201e3%3A.2f%7D%20%7C%20%7B_fast_time%20*%201e3%3A.2f%7D%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.output.replace(mo.md(%22%5Cn%22.join(_rows)))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20two%20agree%20to%20machine%20precision.%20The%20timing%20here%20is%20NumPy%20on%204096-sample%20blocks%2C%20where%20BLAS%20makes%20the%20dense%20product%20very%20hard%20to%20beat%20at%20these%20sizes%3B%20the%20paper's%20C%2B%2B%20benchmark%2C%20which%20multiplies%20one%20sample%20at%20a%20time%20inside%20a%20feedback%20loop%2C%20is%20where%20the%20asymptotic%20win%20shows%20up%20(7.5x%20over%20a%20naive%20product%20at%20%5C(N%20%3D%2032%5C)%2C%20and%2024x%20once%20an%20angle%20is%20updated%20every%20sample).%0A%0A%20%20%20%20%60pyFDN.td%60%20wraps%20both%20cases%20as%20operators%3A%20%60td.KroneckerMatrix%60%20for%20a%20fixed%20angle%20set%2C%20%60td.TimeVaryingKroneckerMatrix%60%20for%20modulated%20ones.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20clear%20advantage%20comes%20in%20play%20when%20we%20modulate%20the%20matrix%20per%20sample.%20A%20matrix-multiplication%20approach%20must%20rebuild%20the%20feedback%20matrix%20whenever%20any%20%5C(%5Ctheta_i%5C)%20changes%2C%20while%20the%20proposed%20algorithm%20only%20refreshes%20the%20affected%20%5C(2%20%5Ctimes%202%5C)%20kernel.%0A%0A%20%20%20%20Below%2C%20%5C(%5Ctheta_%7BM-1%7D%5C)%20moves%20every%20sample%2C%20as%20in%20%C2%A74.%20The%20dense%20side%20is%20given%20its%20best%20NumPy%20form%20%E2%80%94%20all%20%5C(T%5C)%20matrices%20built%20at%20once%2C%20applied%20with%20one%20batched%20%60matmul%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20pyFDN%2C%20time)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(0)%0A%20%20%20%20_T%2C%20_reps%20%3D%202048%2C%205%0A%0A%20%20%20%20def%20_dense_batched(signal%2C%20theta)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22All%20per-sample%20matrices%20built%20at%20once%2C%20applied%20with%20one%20batched%20matmul.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n%2C%20_M%20%3D%20theta.shape%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c%2C%20_s%20%3D%20np.cos(theta)%2C%20np.sin(theta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_P%20%3D%20np.ones((_n%2C%201%2C%201))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_level%20in%20range(_M)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_K%20%3D%20np.empty((_n%2C%202%2C%202))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_K%5B%3A%2C%200%2C%200%5D%20%3D%20_c%5B%3A%2C%20_level%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_K%5B%3A%2C%200%2C%201%5D%20%3D%20-_s%5B%3A%2C%20_level%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_K%5B%3A%2C%201%2C%200%5D%20%3D%20_s%5B%3A%2C%20_level%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_K%5B%3A%2C%201%2C%201%5D%20%3D%20_c%5B%3A%2C%20_level%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p%20%3D%20_P.shape%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_P%20%3D%20np.einsum(%22bij%2Cbkl-%3Ebikjl%22%2C%20_K%2C%20_P).reshape(_n%2C%202%20*%20_p%2C%202%20*%20_p)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(_P%20%40%20signal%5B%3A%2C%20%3A%2C%20None%5D)%5B%3A%2C%20%3A%2C%200%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20_mean_ms(fn)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fn()%20%20%23%20warm%20up%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_runs%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(_reps)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t0%20%3D%20time.perf_counter()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fn()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_runs.append(time.perf_counter()%20-%20_t0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(np.mean(_runs))%20*%201e3%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%22%7C%20N%20%7C%20dense%20(ms)%20%7C%20butterfly%20(ms)%20%7C%20speed-up%20%7C%22%2C%20%22%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%22%5D%0A%20%20%20%20for%20_M%20in%20(3%2C%204%2C%205%2C%206)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_size%20%3D%202**_M%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%20%3D%20_rng.standard_normal((_T%2C%20_size))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Only%20theta_%7BM-1%7D%20moves%2C%20exactly%20as%20the%20modulation%20section%20drives%20it.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_theta%20%3D%20np.tile(_rng.uniform(-np.pi%2C%20np.pi%2C%20_M)%2C%20(_T%2C%201))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_theta%5B%3A%2C%20_M%20-%202%5D%20%2B%3D%200.4%20*%20np.pi%20*%20np.sin(np.linspace(0%2C%2040%2C%20_T))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assert%20np.allclose(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.kronecker_transform(_x%2C%20_theta)%2C%20_dense_batched(_x%2C%20_theta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dense_ms%20%3D%20_mean_ms(lambda%20x%3D_x%2C%20t%3D_theta%3A%20_dense_batched(x%2C%20t))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fast_ms%20%3D%20_mean_ms(lambda%20x%3D_x%2C%20t%3D_theta%3A%20pyFDN.kronecker_transform(x%2C%20t))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%7B_size%7D%20%7C%20%7B_dense_ms%3A.1f%7D%20%7C%20%7B_fast_ms%3A.1f%7D%20%7C%20%7B_dense_ms%20%2F%20_fast_ms%3A.1f%7Dx%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.output.replace(mo.md(%22%5Cn%22.join(_rows)))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Stereo%20cross-coupling%20on%20%CE%B8_M%0A%0A%20%20%20%20Split%20the%20delay%20lines%20into%20two%20halves%20and%20give%20each%20half%20one%20stereo%20channel%3A%20the%20left%20input%20feeds%20lines%200%E2%80%9315%20and%20is%20read%20back%20off%20them%2C%20the%20right%20input%20feeds%20lines%2016%E2%80%9331.%20The%20outermost%20angle%20is%20then%20exactly%20the%20knob%20that%20decides%20how%20much%20the%20two%20sides%20hear%20of%20each%20other.%0A%0A%20%20%20%20Writing%20%5C(%5CPsi_M%20%3D%20%5Cmathrm%7BRot%7D(%5Ctheta_M)%20%5Cotimes%20%5CPsi_%7BM-1%7D%5C)%20out%20in%20blocks%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CPsi_M%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Ccos%5Ctheta_M%5C%2C%5CPsi_%7BM-1%7D%20%26%20-%5Csin%5Ctheta_M%5C%2C%5CPsi_%7BM-1%7D%5C%5C%20%5Csin%5Ctheta_M%5C%2C%5CPsi_%7BM-1%7D%20%26%20%5Ccos%5Ctheta_M%5C%2C%5CPsi_%7BM-1%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20so%20at%20%5C(%5Ctheta_M%20%3D%200%5C)%20the%20off-diagonal%20blocks%20vanish%20and%20the%20two%20halves%20are%20separate%20FDNs%2C%20at%20%5C(%5Ctheta_M%20%3D%20%5Cpi%2F4%5C)%20all%20four%20blocks%20have%20equal%20weight%20and%20the%20network%20is%20one%20unified%2C%20maximally%20diffusive%20FDN%2C%20and%20everything%20in%20between%20is%20a%20continuous%2C%20always-lossless%20morph.%20The%20site's%20percentages%20are%20positions%20along%20%5C(%5B0%2C%20%5Cpi%2F4%5D%5C).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20network%0A%0A%20%20%20%20A%2032-line%20FDN%2C%20delays%20from%2020%20ms%20to%20200%20ms%2C%20%5C(T_%7B60%7D%20%3D%2010%5C)%20s%2C%20no%20damping%20filters%20and%20no%20diffusion%20stages%2C%20so%20nothing%20but%20the%20matrix%20shapes%20what%20is%20heard.%20Following%20the%20companion%20site%2C%20the%20delays%20are%20coprime%20*per%20channel*%3A%20one%20set%20of%2016%20coprime%2C%20geometrically%20spaced%20lengths%20is%20drawn%20and%20both%20halves%20reuse%20it%2C%20so%20every%20length%20appears%20once%20on%20each%20side.%20The%20matched%20pairs%20are%20what%20give%20the%20energy%20its%20audible%20back-and-forth%20bounce%20between%20the%20channels%20once%20they%20are%20coupled%3B%20with%20unrelated%20delay%20sets%20on%20the%20two%20sides%20that%20effect%20disappears.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fs%2C%20np%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20N_stereo%20%3D%2032%0A%20%20%20%20T60_stereo%20%3D%2010.0%20%20%23%20seconds%0A%0A%20%20%20%20_half_delays%20%3D%20pyFDN.sample_delay_lengths(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_stereo%20%2F%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(int(0.020%20*%20fs)%2C%20int(0.200%20*%20fs))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coprime%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sort%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distribution%3D%22geometric%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rng%3D808%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Coprime%20per%20channel%2C%20shared%20across%20channels%3A%20both%20halves%20use%20the%20same%0A%20%20%20%20%23%20delays%2C%20which%20is%20what%20produces%20the%20left%2Fright%20bouncing%20once%20coupled.%0A%20%20%20%20delays_stereo%20%3D%20np.tile(_half_delays%2C%202)%0A%0A%20%20%20%20absorption_stereo%20%3D%20np.diag(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.rt_to_gain_per_sample(T60_stereo%2C%20fs)%20**%20delays_stereo%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20input%20drives%20the%20first%20half%2C%20right%20input%20the%20second%20(Eq.%2019%20and%2020).%0A%20%20%20%20_half%20%3D%20N_stereo%20%2F%2F%202%0A%20%20%20%20input_stereo%20%3D%20np.zeros((N_stereo%2C%202))%0A%20%20%20%20input_stereo%5B%3A_half%2C%200%5D%20%3D%201%20%2F%20np.sqrt(_half)%0A%20%20%20%20input_stereo%5B_half%3A%2C%201%5D%20%3D%201%20%2F%20np.sqrt(_half)%0A%20%20%20%20output_stereo%20%3D%20input_stereo.T.copy()%0A%20%20%20%20direct_stereo%20%3D%20np.zeros((2%2C%202))%0A%0A%20%20%20%20print(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22half%20A%3A%20%7Bdelays_stereo%5B%3A_half%5D.min()%7D%E2%80%93%7Bdelays_stereo%5B%3A_half%5D.max()%7D%20samples%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20print(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22half%20B%3A%20%7Bdelays_stereo%5B_half%3A%5D.min()%7D%E2%80%93%7Bdelays_stereo%5B_half%3A%5D.max()%7D%20samples%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20absorption_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delays_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20direct_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20input_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20output_stereo%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20coupling%20sweep%0A%0A%20%20%20%20Six%20settings%2C%20the%20six%20on%20the%20companion%20site%3A%200%25%2C%205%25%2C%2010%25%2C%2025%25%2C%2050%25%20and%20100%25%20of%20the%20way%20from%20%5C(%5Ctheta_M%20%3D%200%5C)%20to%20%5C(%5Ctheta_M%20%3D%20%5Cpi%2F4%5C).%20Only%20that%20one%20angle%20changes%3B%20every%20other%20kernel%20stays%20at%20%5C(%5Cpi%2F4%5C).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_stereo%2C%20np%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20coupling_percent%20%3D%20%5B0%2C%205%2C%2010%2C%2025%2C%2050%2C%20100%5D%0A%0A%20%20%20%20coupling_angles%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20percent%3A%20pyFDN.kronecker_angles(N_stereo%2C%20theta5%3Dnp.pi%20%2F%204%20*%20percent%20%2F%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20percent%20in%20coupling_percent%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20for%20_percent%2C%20_angles%20in%20coupling_angles.items()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7B_percent%3A4d%7D%25%20%20%20%CE%B8_M%20%3D%20%7B_angles%5B-1%5D%3A.4f%7D%20rad%22)%0A%20%20%20%20return%20coupling_angles%2C%20coupling_percent%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Stereo%20impulse%20responses%0A%0A%20%20%20%20A%20unit%20impulse%20into%20the%20left%20input%20only%2C%20so%20any%20energy%20appearing%20on%20the%20right%20had%20to%20cross%20through%20the%20coupling%20blocks.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20absorption_stereo%2C%0A%20%20%20%20coupling_angles%2C%0A%20%20%20%20delays_stereo%2C%0A%20%20%20%20direct_stereo%2C%0A%20%20%20%20fs%2C%0A%20%20%20%20input_stereo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20output_stereo%2C%0A%20%20%20%20pyFDN%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_ir_duration%20%3D%2012.0%20%20%23%20seconds%0A%0A%20%20%20%20_impulse%20%3D%20np.zeros((int(_ir_duration%20*%20fs)%2C%202))%0A%20%20%20%20_impulse%5B0%2C%200%5D%20%3D%201.0%0A%0A%20%20%20%20stereo_ir%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20percent%3A%20pyFDN.process_dss(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_impulse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delays_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.kronecker_matrix(angles)%20%40%20absorption_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20input_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20output_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20direct_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20percent%2C%20angles%20in%20coupling_angles.items()%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(stereo_ir%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Where%20the%20energy%20is%0A%0A%20%20%20%20The%20most%20direct%20reading%20of%20the%20sweep%3A%20the%20level%20of%20the%20right%20channel%20relative%20to%20the%20left%2C%20in%20100%20ms%20windows.%20At%200%25%20the%20right%20channel%20is%20digital%20silence%20for%20ever.%20At%205%25%20it%20climbs%20slowly%20out%20of%20nothing%20and%20is%20still%2015%20dB%20down%20after%20ten%20seconds%3B%20by%2025%25%20the%20two%20sides%20are%20within%20a%20few%20dB%20after%20a%20second%20or%20so%3B%20at%20100%25%20they%20are%20level%20almost%20immediately.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(coupling_percent%2C%20fs%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20stereo_ir)%3A%0A%20%20%20%20def%20channel_balance(ir%2C%20window%3D0.100%2C%20hop%3D0.050)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Right-minus-left%20level%20in%20dB%2C%20in%20sliding%20windows.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w%2C%20h%20%3D%20int(window%20*%20fs)%2C%20int(hop%20*%20fs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20starts%20%3D%20np.arange(0%2C%20len(ir)%20-%20w%2C%20h)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energy_l%20%3D%20np.array(%5Bnp.sum(ir%5Bs%20%3A%20s%20%2B%20w%2C%200%5D%20**%202)%20for%20s%20in%20starts%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energy_r%20%3D%20np.array(%5Bnp.sum(ir%5Bs%20%3A%20s%20%2B%20w%2C%201%5D%20**%202)%20for%20s%20in%20starts%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20times%20%3D%20(starts%20%2B%20w%20%2F%202)%20%2F%20fs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20times%2C%2010%20*%20np.log10((energy_r%20%2B%201e-30)%20%2F%20(energy_l%20%2B%201e-30))%0A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204.2))%0A%20%20%20%20for%20_percent%20in%20coupling_percent%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t%2C%20_balance%20%3D%20channel_balance(stereo_ir%5B_percent%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_t%2C%20np.maximum(_balance%2C%20-80)%2C%20label%3Df%22%7B_percent%7D%25%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Right-channel%20level%20relative%20to%20left%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22impulse%20into%20the%20left%20input%20only%3B%20floor%20clamped%20at%20%E2%88%9280%20dB%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Time%20%5Bs%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22R%20%E2%88%92%20L%20%5BdB%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend(title%3D%22coupling%22)%0A%20%20%20%20_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.output.replace(_figure)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Interaural%20cross-correlation%0A%0A%20%20%20%20The%20site's%20own%20measure.%20IACC%20is%20the%20peak%20magnitude%20of%20the%20normalised%20cross-correlation%20between%20the%20two%20channels%20over%20a%20%C2%B11%20ms%20lag%20window%2C%20evaluated%20in%20sliding%20100%20ms%20windows%3A%20near%201%20the%20channels%20are%20near-identical%20and%20the%20image%20is%20narrow%20and%20centred%2C%20near%200%20they%20are%20decorrelated%20and%20the%20image%20is%20wide.%0A%0A%20%20%20%20At%200%25%20the%20right%20channel%20is%20silent%2C%20the%20correlation%20is%20undefined%2C%20and%20the%20trace%20is%20simply%20absent%20%E2%80%94%20the%20same%20gap%20the%20site%20leaves%20in%20that%20figure.%20Every%20coupled%20setting%20behaves%20the%20way%20the%20site%20describes%3A%20whatever%20the%20coupling%20strength%2C%20the%20reverberant%20tail%20decorrelates%20within%20a%20fraction%20of%20a%20second%20and%20settles%20at%20a%20low%20steady-state%20value.%20Coupling%20controls%20*how%20much*%20energy%20reaches%20the%20other%20side%2C%20not%20how%20similar%20the%20two%20sides%20end%20up%20sounding%20%E2%80%94%20that%20is%20what%20the%20balance%20plot%20above%20measures%20and%20this%20one%20does%20not.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(correlate%2C%20coupling_percent%2C%20fs%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20stereo_ir)%3A%0A%20%20%20%20def%20iacc(ir%2C%20window%3D0.100%2C%20hop%3D0.050%2C%20max_lag%3D0.001)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Sliding-window%20IACC%20(ISO%203382-1)%20of%20a%20stereo%20impulse%20response.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w%2C%20h%2C%20lag%20%3D%20int(window%20*%20fs)%2C%20int(hop%20*%20fs)%2C%20int(max_lag%20*%20fs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20starts%20%3D%20np.arange(0%2C%20len(ir)%20-%20w%2C%20h)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%20%3D%20np.full(len(starts)%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20start%20in%20enumerate(starts)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20left%2C%20right%20%3D%20ir%5Bstart%20%3A%20start%20%2B%20w%2C%200%5D%2C%20ir%5Bstart%20%3A%20start%20%2B%20w%2C%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20norm%20%3D%20np.sqrt(np.sum(left**2)%20*%20np.sum(right**2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20norm%20%3C%201e-20%3A%20%20%23%20a%20silent%20channel%20leaves%20the%20IACC%20undefined%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rho%20%3D%20correlate(left%2C%20right%2C%20mode%3D%22full%22)%5Bw%20-%201%20-%20lag%20%3A%20w%20%2B%20lag%5D%20%2F%20norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20values%5Bindex%5D%20%3D%20np.max(np.abs(rho))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(starts%20%2B%20w%20%2F%202)%20%2F%20fs%2C%20values%0A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204.2))%0A%20%20%20%20for%20_percent%20in%20coupling_percent%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t%2C%20_values%20%3D%20iacc(stereo_ir%5B_percent%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.all(np.isnan(_values))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%200%25%3A%20right%20channel%20silent%20throughout%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_t%2C%20_values%2C%20label%3Df%22%7B_percent%7D%25%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Sliding-window%20IACC%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22100%20ms%20window%2C%2050%20ms%20hop%2C%20%C2%B11%20ms%20lag%3B%200%25%20omitted%20(right%20channel%20silent)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Time%20%5Bs%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22IACC%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(0%2C%201)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(0%2C%202)%0A%20%20%20%20_ax.legend(title%3D%22coupling%22)%0A%20%20%20%20_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.output.replace(_figure)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Listen%0A%0A%20%20%20%20A%20single%20piano-like%20note%20hard-panned%20left%2C%20rendered%20100%25%20wet%20through%20each%20setting.%20Headphones%20recommended.%20The%20note%20stays%20put%20at%200%25%2C%20sweeps%20slowly%20across%20at%205%E2%80%9310%25%2C%20and%20is%20spread%20across%20the%20panorama%20almost%20at%20once%20at%20100%25.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(AUDIO_SECONDS%2C%20fs%2C%20mo%2C%20np%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20def%20piano_note(f0%2C%20duration%2C%20fs%2C%20seed%3D0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22A%20plucked-string-ish%20tone%3A%20decaying%20inharmonic%20partials%20plus%20a%20click.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t%20%3D%20np.arange(int(duration%20*%20fs))%20%2F%20fs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20note%20%3D%20np.zeros_like(t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20partial%20in%20range(1%2C%2017)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Slight%20stiffness-induced%20inharmonicity%2C%20and%20faster%20decay%20up%20high.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frequency%20%3D%20f0%20*%20partial%20*%20np.sqrt(1%20%2B%204e-4%20*%20partial**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20frequency%20%3E%200.45%20*%20fs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20note%20%2B%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.exp(-t%20*%20(2.0%20%2B%200.9%20*%20partial))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.sin(2%20*%20np.pi%20*%20frequency%20*%20t%20%2B%20rng.uniform(0%2C%202%20*%20np.pi))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20partial**1.3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hammer%20%3D%20rng.standard_normal(len(t))%20*%20np.exp(-t%20*%20900)%20*%200.4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20note%20%3D%20note%20%2B%20hammer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20note%20%2F%20np.abs(note).max()%20*%200.9%0A%0A%20%20%20%20dry_note%20%3D%20piano_note(220.0%2C%201.2%2C%20fs)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Hard-panned%20left%2C%20then%20silence%20for%20the%20tail.%20Kept%20to%20AUDIO_SECONDS%20so%20a%0A%20%20%20%20%23%20cell%20of%20three%20players%20stays%20inside%20marimo's%208%20MB%20output%20limit.%0A%20%20%20%20stereo_note%20%3D%20np.zeros((int(AUDIO_SECONDS%20*%20fs)%2C%202))%0A%20%20%20%20stereo_note%5B%3A%20len(dry_note)%2C%200%5D%20%3D%20dry_note%0A%0A%20%20%20%20mo.output.replace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.labeled_audio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%3Cb%3EDry%20source%3A%20piano%20note%2C%20hard-panned%20left%3C%2Fb%3E%22%2C%20stereo_note%2C%20fs%3Dfs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(stereo_note%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20absorption_stereo%2C%0A%20%20%20%20coupling_angles%2C%0A%20%20%20%20delays_stereo%2C%0A%20%20%20%20direct_stereo%2C%0A%20%20%20%20input_stereo%2C%0A%20%20%20%20output_stereo%2C%0A%20%20%20%20pyFDN%2C%0A%20%20%20%20stereo_note%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20stereo_wet%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20percent%3A%20pyFDN.process_dss(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stereo_note%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delays_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.kronecker_matrix(angles)%20%40%20absorption_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20input_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20output_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20direct_stereo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20percent%2C%20angles%20in%20coupling_angles.items()%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(stereo_wet%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(coupling_angles%2C%20fs%2C%20mo%2C%20pyFDN%2C%20stereo_wet)%3A%0A%20%20%20%20def%20coupling_players(percentages)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Stack%20the%20players%20for%20a%20few%20coupling%20settings.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Split%20across%20two%20cells%3A%20six%20stereo%20players%20in%20a%20single%20output%20would%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exceed%20marimo's%208%20MB%20per-cell%20limit%20(%60%60output_max_bytes%60%60).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.labeled_audio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cb%3E%7Bpercent%7D%25%20coupling%3C%2Fb%3E%20%E2%80%94%20%CE%B8_M%20%3D%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bcoupling_angles%5Bpercent%5D%5B-1%5D%3A.4f%7D%20rad%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stereo_wet%5Bpercent%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fs%3Dfs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20percent%20in%20percentages%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20return%20(coupling_players%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(coupling_percent%2C%20coupling_players%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.output.replace(coupling_players(coupling_percent%5B%3A3%5D))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(coupling_percent%2C%20coupling_players%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.output.replace(coupling_players(coupling_percent%5B3%3A%5D))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Matrix%20modulation%20on%20%CE%B8_%7BM%E2%88%921%7D%0A%0A%20%20%20%20A%20static%20FDN%20has%20fixed%20modes.%20Sustain%20a%20harmonically%20rich%20tone%20through%20one%20and%20the%20same%20handful%20of%20resonances%20is%20excited%20for%20as%20long%20as%20the%20tone%20lasts%2C%20which%20is%20what%20%22metallic%20ringing%22%20describes.%20Moving%20a%20kernel%20angle%20moves%20the%20poles%2C%20so%20no%20mode%20is%20driven%20long%20enough%20to%20stand%20out.%0A%0A%20%20%20%20What%20distinguishes%20this%20from%20the%20familiar%20cure%20%E2%80%94%20modulating%20the%20delay%20lengths%20%E2%80%94%20is%20that%20the%20routing%20coefficients%20move%20while%20the%20delays%20stay%20put.%20Delay%20modulation%20retunes%20the%20whole%20network%20and%20brings%20chorusing%20with%20it%3B%20matrix%20modulation%20only%20redistributes%20energy%20between%20lines%2C%20so%20it%20breaks%20up%20resonances%20with%20far%20less%20pitch%20movement.%0A%0A%20%20%20%20The%20site%20isolates%20the%20effect%20on%20a%20deliberately%20sparse%20network%3A%2016%20lines%20with%20%5C(%5Ctheta_M%20%3D%200%5C)%2C%20which%20splits%20it%20into%20two%20independent%208%C3%978%20sub-networks%2C%20one%20per%20stereo%20side.%20Fewer%20modes%20per%20side%20makes%20the%20individual%20resonances%20easy%20to%20hear.%20With%20%5C(M%20%3D%20%5Clog_2%2016%20%3D%204%5C)%2C%20the%20modulated%20angle%20%5C(%5Ctheta_%7BM-1%7D%5C)%20is%20%5C(%5Ctheta_3%5C)%2C%20and%20it%20follows%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctheta_3(t)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20%2B%20%5Ctext%7Bdepth%7D%5Ccdot%5Csin(2%5Cpi%5C%2C%5Ctext%7Brate%7D%5C%2Ct).%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fs%2C%20np%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20N_mod%20%3D%2016%0A%20%20%20%20T60_mod%20%3D%206.0%20%20%23%20seconds%0A%0A%20%20%20%20_sorted_delays%20%3D%20pyFDN.sample_delay_lengths(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_mod%2C%20(int(0.020%20*%20fs)%2C%20int(0.050%20*%20fs))%2C%20coprime%3DTrue%2C%20sort%3DTrue%2C%20rng%3D303%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20delays_mod%20%3D%20_sorted_delays.reshape(-1%2C%202).T.reshape(-1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20theta_M%20%3D%200%3A%20two%20independent%208x8%20sub-networks%2C%20one%20per%20stereo%20side.%0A%20%20%20%20modulation_base%20%3D%20pyFDN.kronecker_angles(N_mod%2C%20theta4%3D0.0)%0A%0A%20%20%20%20absorption_mod%20%3D%20np.diag(pyFDN.rt_to_gain_per_sample(T60_mod%2C%20fs)%20**%20delays_mod)%0A%0A%20%20%20%20_half%20%3D%20N_mod%20%2F%2F%202%0A%20%20%20%20input_mod%20%3D%20np.zeros((N_mod%2C%202))%0A%20%20%20%20input_mod%5B%3A_half%2C%200%5D%20%3D%201%20%2F%20np.sqrt(_half)%0A%20%20%20%20input_mod%5B_half%3A%2C%201%5D%20%3D%201%20%2F%20np.sqrt(_half)%0A%20%20%20%20output_mod%20%3D%20input_mod.T.copy()%0A%20%20%20%20direct_mod%20%3D%20np.zeros((2%2C%202))%0A%0A%20%20%20%20print(f%22base%20angles%20%CE%B8%E2%82%81..%CE%B8%E2%82%84%3A%20%7Bnp.round(modulation_base%2C%204)%7D%22)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20absorption_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delays_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20direct_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20input_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20modulation_base%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20output_mod%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20dry%20source%0A%0A%20%20%20%20Two%20sustained%20chords%20on%20a%20square-wave%20oscillator.%20The%20harmonically%20rich%20tone%20excites%20the%20network's%20modes%20hard%2C%20which%20is%20what%20surfaces%20the%20metallic%20ringing%20that%20the%20modulation%20is%20meant%20to%20remove.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(AUDIO_SECONDS%2C%20fs%2C%20mo%2C%20np%2C%20pyFDN%2C%20square)%3A%0A%20%20%20%20def%20square_chord(freqs%2C%20start%2C%20stop%2C%20t%2C%20fade%3D0.01)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22A%20square-wave%20chord%20gated%20between%20%60%60start%60%60%20and%20%60%60stop%60%60%20seconds.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gate%20%3D%20((t%20%3E%3D%20start)%20%26%20(t%20%3C%20stop)).astype(float)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ramp%20%3D%20np.clip((t%20-%20start)%20%2F%20fade%2C%200%2C%201)%20*%20np.clip((stop%20-%20t)%20%2F%20fade%2C%200%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tone%20%3D%20sum(square(2%20*%20np.pi%20*%20f%20*%20t)%20for%20f%20in%20freqs)%20%2F%20len(freqs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.35%20*%20tone%20*%20gate%20*%20ramp%0A%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.arange(int(AUDIO_SECONDS%20*%20fs))%20%2F%20fs%0A%20%20%20%20%23%20Two%20shortish%20chords%2C%20so%20that%20the%20last%201.4%20s%20is%20exposed%20tail%20--%20which%20is%0A%20%20%20%20%23%20where%20the%20ringing%20the%20modulation%20removes%20is%20easiest%20to%20hear.%0A%20%20%20%20_chords%20%3D%20square_chord(%5B220.0%2C%20277.18%2C%20329.63%5D%2C%200.1%2C%201.3%2C%20_t)%20%2B%20square_chord(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B196.0%2C%20246.94%2C%20293.66%5D%2C%201.5%2C%202.6%2C%20_t%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20dry_chords%20%3D%20np.stack(%5B_chords%2C%20_chords%5D%2C%20axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20mo.output.replace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.labeled_audio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%3Cb%3EDry%20source%3A%20two%20chords%20(square-wave%20oscillator)%3C%2Fb%3E%22%2C%20dry_chords%2C%20fs%3Dfs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(dry_chords%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Three%20modulation%20regimes%0A%0A%20%20%20%20The%20three%20settings%20from%20the%20site%3A%20off%2C%20the%20recommended%20subtle%20setting%20(0.2%20Hz%2C%20depth%200.2%CF%80)%2C%20and%20the%20aggressive%20upper%20bound%20(2%20Hz%2C%20depth%20%CF%80%20%E2%80%94%20the%20full%20angular%20range).%0A%0A%20%20%20%20%60td.TimeVaryingKroneckerMatrix%60%20takes%20the%20base%20angles%20plus%20a%20rate%20and%20depth%20per%20kernel%3B%20zeros%20leave%20a%20kernel%20alone%2C%20which%20is%20how%20a%20single%20level%20is%20singled%20out.%20With%20the%20FDN's%20static%20feedback%20matrix%20set%20to%20the%20absorption%20alone%2C%20the%20operator%20on%20%60post_matrix%60%20*is*%20the%20feedback%20matrix.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_mod%2C%20fs%2C%20modulation_base%2C%20np%2C%20td)%3A%0A%20%20%20%20modulation_settings%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22off%22%3A%20(0.0%2C%200.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22subtle%20(0.2%20Hz%2C%200.2%CF%80)%22%3A%20(0.2%2C%200.2%20*%20np.pi)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22aggressive%20(2%20Hz%2C%20%CF%80)%22%3A%20(2.0%2C%20np.pi)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20modulated_matrix(rate%2C%20depth)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Modulate%20theta_%7BM-1%7D%20only%2C%20leaving%20every%20other%20kernel%20fixed.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20modulated%20%3D%20np.arange(int(np.log2(N_mod)))%20%3D%3D%20int(np.log2(N_mod))%20-%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20td.TimeVaryingKroneckerMatrix(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20modulation_base%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rate%3Dnp.where(modulated%2C%20rate%2C%200.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20depth%3Dnp.where(modulated%2C%20depth%2C%200.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20modulation_names%20%3D%20list(modulation_settings)%0A%20%20%20%20return%20modulated_matrix%2C%20modulation_names%2C%20modulation_settings%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20angle%20trajectories%2C%20one%20second%20of%20each.%20The%20subtle%20setting%20stays%20within%20a%20fifth%20of%20%CF%80%20of%20centre%3B%20the%20aggressive%20one%20sweeps%20the%20whole%20range%20twice%20a%20second%2C%20which%20is%20audible%20as%20an%20effect%20in%20its%20own%20right%20rather%20than%20as%20diffusion.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fs%2C%20mo%2C%20modulated_matrix%2C%20modulation_settings%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%203.4))%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20np.arange(0%2C%203%20*%20fs%2C%2064)%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20(_rate%2C%20_depth)%20in%20modulation_settings.items()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_angles%20%3D%20modulated_matrix(_rate%2C%20_depth).angles_at(_n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_n%20%2F%20fs%2C%20_angles%5B%3A%2C%202%5D%2C%20label%3D_name)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%22Modulated%20kernel%20angle%20%CE%B8%E2%82%83%20%3D%20%CE%B8_(M%E2%88%921)%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Time%20%5Bs%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22%CE%B8%E2%82%83%20%5Brad%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.output.replace(_figure)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20absorption_mod%2C%0A%20%20%20%20delays_mod%2C%0A%20%20%20%20direct_mod%2C%0A%20%20%20%20dry_chords%2C%0A%20%20%20%20input_mod%2C%0A%20%20%20%20modulated_matrix%2C%0A%20%20%20%20modulation_settings%2C%0A%20%20%20%20output_mod%2C%0A%20%20%20%20pyFDN%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20modulated_wet%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3A%20pyFDN.process_dss(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dry_chords%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delays_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20absorption_mod%2C%20%20%23%20A%20carries%20the%20absorption%20only%20...%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20input_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20output_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20direct_mod%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20post_matrix%3Dmodulated_matrix(rate%2C%20depth)%2C%20%20%23%20...%20the%20operator%20is%20the%20matrix%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20name%2C%20(rate%2C%20depth)%20in%20modulation_settings.items()%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(modulated_wet%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Read%20the%20three%20spectrograms%20downwards.%20The%20static%20network%20leaves%20sharp%20horizontal%20ridges%20where%20individual%20modes%20sustain%20through%20the%20chord%20tails%3B%20subtle%20modulation%20smears%20them%3B%20the%20aggressive%20setting%20broadens%20them%20into%20wavering%20bands.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fs%2C%20mo%2C%20modulated_wet%2C%20modulation_names%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.plot_spectrogram(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20modulated_wet%5Bname%5D%5B%3A%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nperseg%3D2048%20*%208%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20noverlap%3D2048%20*%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Modulation%20%7Bname%7D%20%E2%80%94%20spectrogram%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%22Magma%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D330%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20name%20in%20modulation_names%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fs%2C%20mo%2C%20modulated_wet%2C%20modulation_names%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20mo.output.replace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.labeled_audio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Cb%3EModulation%20%7Bname%7D%3C%2Fb%3E%22%2C%20modulated_wet%5Bname%5D%2C%20fs%3Dfs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20name%20in%20modulation_names%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20it%20works%3A%20the%20poles%20move%0A%0A%20%20%20%20Figure%206%20of%20the%20paper%20measures%20the%20effect%20on%20the%20poles%20directly.%20Freeze%20the%20modulated%20matrix%20at%20a%20sequence%20of%20instants%20across%20one%20modulation%20period%2C%20take%20the%20poles%20of%20the%20resulting%20FDN%20each%20time%2C%20and%20histogram%20their%20frequencies.%20Without%20modulation%20every%20snapshot%20has%20the%20same%20poles%2C%20so%20the%20histogram%20is%20a%20set%20of%20spikes%3B%20with%20modulation%20the%20poles%20wander%20and%20the%20histogram%20flattens.%20The%20standard%20deviation%20of%20the%20bin%20counts%20is%20the%20summary%20number%20%E2%80%94%20lower%20means%20a%20more%20uniform%20pole%20density%2C%20which%20is%20what%20%22less%20coloration%22%20means%20quantitatively.%0A%0A%20%20%20%20The%20paper's%20network%3A%208%20lines%20at%20%60m%20%3D%20%5B53%2C%2061%2C%2071%2C%2079%2C%2089%2C%20101%2C%20113%2C%20127%5D%60%2C%20rotation%20kernels%2C%20and%20the%20middle%20angle%20%5C(%5Ctheta_2%5C)%20modulated%20with%20amplitude%20%CF%80%20by%20a%201%20Hz%20triangle%20wave.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fs%2C%20np%2C%20pyFDN)%3A%0A%20%20%20%20figure6_delays%20%3D%20np.array(%5B53%2C%2061%2C%2071%2C%2079%2C%2089%2C%20101%2C%20113%2C%20127%5D)%0A%20%20%20%20N_figure6%20%3D%20len(figure6_delays)%0A%20%20%20%20num_snapshots%20%3D%2021%0A%0A%20%20%20%20def%20pole_frequencies(angles)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Positive%20pole%20frequencies%20in%20Hz%20of%20the%20lossless%20FDN%20at%20these%20angles.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_%2C%20poles%2C%20_%2C%20_%2C%20_%20%3D%20pyFDN.dss_to_pr(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure6_delays%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.kronecker_matrix(angles)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.ones((N_figure6%2C%201))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.ones((1%2C%20N_figure6))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.zeros((1%2C%201))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22roots%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequency%20%3D%20np.angle(poles)%20%2F%20(2%20*%20np.pi)%20*%20fs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20frequency%5Bfrequency%20%3E%200%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20One%20period%20of%20a%20unit-amplitude%201%20Hz%20triangle%20wave.%0A%20%20%20%20_phase%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20np.arange(num_snapshots)%20%2F%20num_snapshots%0A%20%20%20%20triangle%20%3D%20(2%20%2F%20np.pi)%20*%20np.arcsin(np.sin(_phase))%0A%0A%20%20%20%20static_poles%20%3D%20np.tile(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pole_frequencies(pyFDN.kronecker_angles(N_figure6))%2C%20num_snapshots%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20modulated_poles%20%3D%20np.concatenate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pole_frequencies(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pyFDN.kronecker_angles(N_figure6%2C%20theta2%3Dnp.pi%20%2F%204%20%2B%20np.pi%20*%20weight)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20weight%20in%20triangle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20modulated_poles%2C%20num_snapshots%2C%20static_poles%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20modulated_poles%2C%20np%2C%20num_snapshots%2C%20plt%2C%20static_poles)%3A%0A%20%20%20%20_bins%20%3D%20np.linspace(4500%2C%207500%2C%2051)%0A%20%20%20%20_centres%20%3D%20(_bins%5B%3A-1%5D%20%2B%20_bins%5B1%3A%5D)%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_static_counts%2C%20_%20%3D%20np.histogram(static_poles%2C%20_bins)%0A%20%20%20%20_modulated_counts%2C%20_%20%3D%20np.histogram(modulated_poles%2C%20_bins)%0A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204.2))%0A%20%20%20%20_width%20%3D%20_bins%5B1%5D%20-%20_bins%5B0%5D%0A%20%20%20%20_ax.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_centres%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_static_counts%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.65%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22no%20modulation%20(%CF%83%20%3D%20%7B_static_counts.std()%3A.1f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_centres%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_modulated_counts%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.65%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22modulated%20(%CF%83%20%3D%20%7B_modulated_counts.std()%3A.1f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pole%20frequency%20histogram%20over%20one%20modulation%20period%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bnum_snapshots%7D%20snapshots%20of%20the%208%C3%978%20Kronecker%20FDN%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%CF%83%20is%20the%20standard%20deviation%20of%20the%20bin%20counts%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Frequency%20%5BHz%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Number%20of%20occurrences%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20mo.output.replace(_figure)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Modulation%20roughly%20halves%20the%20spread%20of%20the%20bin%20counts%20here%2C%20the%20same%20direction%20and%20order%20as%20the%20paper%20reports%20(71.0%20down%20to%2024.8%20on%20its%20own%20network%20and%20bin%20grid%3B%20the%20absolute%20numbers%20scale%20with%20the%20number%20of%20snapshots%20and%20bins).%20Fixed%20poles%20pile%20into%20a%20few%20bins%20and%20leave%20others%20empty%3B%20moving%20poles%20fill%20the%20band%2C%20and%20that%20even%20filling%20is%20the%20reverberation-tail%20liveliness%20the%20modulation%20is%20after.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20was%20left%20out%0A%0A%20%20%20%20The%20companion%20site's%20third%20configuration%2C%20selective%20freeze%20on%20%5C(%5Ctheta_1%20%3D%200%5C)%2C%20is%20not%20covered%20here.%20It%20needs%20the%20input%20matrix%20and%20the%20absorption%20to%20be%20switched%20at%20runtime%20%E2%80%94%20the%20frozen%20half%20gets%20zero%20input%20and%20unit%20gain%20%E2%80%94%20rather%20than%20a%20matrix%20construction%2C%20so%20it%20belongs%20with%20the%20time-varying-gain%20machinery%20rather%20than%20with%20the%20feedback%20matrix%20itself.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A