bayesian risk mushroom interactive

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.13%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22default%22)%0A%0A%20%20%20%20C_EDIBLE%20%20%3D%20%22%232ca02c%22%20%20%20%23%20green%0A%20%20%20%20C_DEADLY%20%20%3D%20%22%23d62728%22%20%20%20%23%20red%0A%20%20%20%20C_EAT%20%20%20%20%20%3D%20%22%23ff7f0e%22%20%20%20%23%20orange%20%E2%80%94%20risk%20of%20eating%0A%20%20%20%20C_DISCARD%20%3D%20%22%239467bd%22%20%20%20%23%20purple%20%E2%80%94%20risk%20of%20discarding%0A%20%20%20%20return%20C_DEADLY%2C%20C_DISCARD%2C%20C_EAT%2C%20C_EDIBLE%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Bayesian%20Risk%20and%20the%20Cost%20Function%20%E2%80%94%20Mushroom%20Foraging%0A%0A%20%20%20%20You%20are%20foraging%20mushrooms.%20Two%20species%20look%20nearly%20identical%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Chanterelle**%20(*Cantharellus%20cibarius*)%20%E2%80%94%20golden%2C%20edible%2C%20delicious%20%20%E2%9C%93%0A%20%20%20%20-%20**Death%20cap**%20(*Amanita%20phalloides*)%20%E2%80%94%20similar%20colour%2C%20**deadly**%20%20%E2%9C%97%0A%0A%20%20%20%20A%20vision%20system%20processes%20a%20photograph%20and%20extracts%20a%20scalar%20feature%0A%20%20%20%20%24x%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%24%20%E2%80%94%20a%20*suspicion%20score*%20combining%20cap%20shape%2C%20gill%20structure%2C%0A%20%20%20%20and%20colour.%20%20It%20also%20outputs%20a%20**posterior%20probability**%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%20%3D%20%5Cmathbb%7BP%7D(C%20%3D%20%5Ctext%7Bedible%7D%20%5Cmid%20X%20%3D%20x)%2C%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%20%3D%20%5Cmathbb%7BP%7D(C%20%3D%20%5Ctext%7Bdeadly%7D%20%5Cmid%20X%20%3D%20x)%20%3D%201%20-%20%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20each%20observation%20%24x%24%20you%20must%20choose%20an%20action%0A%20%20%20%20%24a(x)%20%5Cin%20%5C%7B%5Ctext%7Beat%7D%2C%5C%2C%5Ctext%7Bdiscard%7D%5C%7D%24.%0A%20%20%20%20The%20**cost%20function**%20%24%5Cmathcal%7BC%7D(a%2C%20c)%24%20quantifies%20the%20consequences%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20True%3A%20edible%20%7C%20True%3A%20deadly%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A--%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Decide%3A%20eat**%20%7C%20%240%24%20%7C%20%24c_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%24%20(fatal!)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Decide%3A%20discard**%20%7C%20%24c_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%24%20(wasted)%20%7C%20%240%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20asymmetry%20%24c_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%20%5Cgg%20c_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%24%20is%20the%20key%3A%20eating%20a%20deadly%20mushroom%20is%0A%20%20%20%20catastrophically%20worse%20than%20discarding%20an%20edible%20one.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20_imgs%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Chanterelle%5Cn(Cantharellus%20cibarius)%22%3A%20%22images%2Fmushroom_chanterelle.jpg%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Death%20cap%5Cn(Amanita%20phalloides)%22%3A%20%22images%2Fmushroom_deathcap.jpg%22%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Chanterelle%5Cn(Cantharellus%20cibarius)%22%3A%20%22%232ca02c%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Death%20cap%5Cn(Amanita%20phalloides)%22%3A%20%20%20%20%20%20%22%23d62728%22%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_labels%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Chanterelle%5Cn(Cantharellus%20cibarius)%22%3A%20%22Chanterelle%20%C2%B7%20%3Ci%3ECantharellus%20cibarius%3C%2Fi%3E%20%C2%B7%20edible%20%E2%9C%93%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Death%20cap%5Cn(Amanita%20phalloides)%22%3A%20%20%20%20%20%20%22Death%20cap%20%C2%B7%20%3Ci%3EAmanita%20phalloides%3C%2Fi%3E%20%C2%B7%20deadly%20%E2%9C%97%22%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_cards%20%3D%20%22%22.join(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%3Cfigure%20style%3D%22margin%3A0%3Bflex%3A1%3Btext-align%3Acenter%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22%7B_imgs%5B_k%5D%7D%22%20alt%3D%22%7B_k%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20style%3D%22width%3A100%25%3Bmax-width%3A280px%3Bborder-radius%3A8px%3Bborder%3A3px%20solid%20%7B_colors%5B_k%5D%7D%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cfigcaption%20style%3D%22margin-top%3A6px%3Bfont-weight%3A600%3Bcolor%3A%7B_colors%5B_k%5D%7D%22%3E%7B_labels%5B_k%5D%7D%3C%2Ffigcaption%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Ffigure%3E%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_k%20in%20_imgs%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bgap%3A24px%3Bjustify-content%3Acenter%3Balign-items%3Aflex-start%22%3E%7B_cards%7D%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20style%3D%22text-align%3Acenter%3Bfont-size%3A0.8em%3Bcolor%3A%23666%3Bmargin-top%3A8px%22%3EPhotos%3A%20Wikimedia%20Commons.%3C%2Fp%3E%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201%20%C2%B7%20The%20posterior%0A%0A%20%20%20%20We%20model%20the%20posterior%20as%20a%20**sigmoid**%20of%20%24x%24%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20e%5E%7B-k(x%20-%20x_0)%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20where%20%24x_0%24%20is%20the%20crossover%20point%20(%24%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D%20%3D%20%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D%20%3D%200.5%24)%20and%20%24k%24%0A%20%20%20%20controls%20how%20sharply%20the%20probability%20shifts.%20%20Adjust%20both%20to%20explore%0A%20%20%20%20different%20classifiers.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20x0_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.20%2C%20stop%3D0.80%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.50%2C%20label%3D%22Crossover%20%24x_0%24%22)%0A%20%20%20%20k_slider%20%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D2.0%2C%20%20stop%3D20.0%2C%20step%3D0.5%2C%20%20value%3D8.0%2C%20%20label%3D%22Sharpness%20%24k%24%22)%0A%20%20%20%20return%20k_slider%2C%20x0_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(k_slider%2C%20np%2C%20x0_slider)%3A%0A%20%20%20%20x_grid%20%3D%20np.linspace(0%2C%201%2C%20500)%0A%20%20%20%20pi_D%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%20%2B%20np.exp(-k_slider.value%20*%20(x_grid%20-%20x0_slider.value)))%0A%20%20%20%20pi_E%20%3D%201.0%20-%20pi_D%0A%20%20%20%20return%20pi_D%2C%20pi_E%2C%20x_grid%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(C_DEADLY%2C%20C_EDIBLE%2C%20k_slider%2C%20mo%2C%20pi_D%2C%20pi_E%2C%20plt%2C%20x0_slider%2C%20x_grid)%3A%0A%20%20%20%20fig_post%2C%20ax_post%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204))%0A%20%20%20%20ax_post.plot(x_grid%2C%20pi_E%2C%20color%3DC_EDIBLE%2C%20lw%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Cpi_%7B%5Cmathrm%7Bedible%7D%7D(x)%3D%5Cmathbb%7BP%7D(%5Cmathrm%7Bedible%7D%5Cmid%20x)%24%22)%0A%20%20%20%20ax_post.plot(x_grid%2C%20pi_D%2C%20color%3DC_DEADLY%2C%20lw%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Cpi_%7B%5Cmathrm%7Bdeadly%7D%7D(x)%3D%5Cmathbb%7BP%7D(%5Cmathrm%7Bdeadly%7D%5Cmid%20x)%24%22)%0A%20%20%20%20ax_post.axvline(x0_slider.value%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20ax_post.axhline(0.5%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.0)%0A%20%20%20%20ax_post.set_xlabel(%22suspicion%20score%20%24x%24%22)%0A%20%20%20%20ax_post.set_ylabel(%22posterior%20probability%22)%0A%20%20%20%20ax_post.set_title(%22Posterior%20probabilities%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_post.set_xlim(0%2C%201)%0A%20%20%20%20ax_post.set_ylim(0%2C%201)%0A%20%20%20%20ax_post.legend()%0A%20%20%20%20ax_post.grid(alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bmo.hstack(%5Bx0_slider%2C%20k_slider%5D)%2C%20mo.mpl.interactive(fig_post)%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202%20%C2%B7%20Conditional%20Bayes%20risk%0A%0A%20%20%20%20The%20**conditional%20risk**%20of%20action%20%24a%24%20at%20observation%20%24x%24%20is%20the%0A%20%20%20%20expected%20cost%20under%20the%20posterior%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20R(a%20%5Cmid%20x)%0A%20%20%20%20%3D%20%5Csum_%7Bc%20%5Cin%20%5C%7B%5Ctext%7Bedible%7D%2C%5C%2C%5Ctext%7Bdeadly%7D%5C%7D%7D%20%5Cmathcal%7BC%7D(a%2C%20c)%5C%3B%5Cmathbb%7BP%7D(C%3Dc%5Cmid%20X%3Dx).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20For%20the%20two%20actions%20this%20gives%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20R(%5Ctext%7Beat%7D%20%5Cmid%20x)%20%3D%20c_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%5C%2C%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%2C%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20R(%5Ctext%7Bdiscard%7D%20%5Cmid%20x)%20%3D%20c_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%5C%2C%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**Bayes-optimal%20decision**%20minimises%20the%20conditional%20risk%20pointwise%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20a%5E*(x)%0A%20%20%20%20%3D%20%5Coperatorname%7Bargmin%7D_%7Ba%7D%5C%3B%20R(a%20%5Cmid%20x)%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ctext%7Beat%7D%20%20%20%20%20%26%20%5Ctext%7Bif%20%7D%20c_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%5C%2C%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%20%3C%20c_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%5C%2C%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%2C%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ctext%7Bdiscard%7D%20%26%20%5Ctext%7Botherwise.%7D%0A%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bcases%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20Rearranging%2C%20the%20eat%20region%20is%20where%20the%20**posterior%20odds**%20satisfy%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%7D%7B%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%7D%20%3C%20%5Cfrac%7Bc_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%7D%7Bc_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20With%20%24c_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%20%5Cgg%20c_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%24%20the%20right-hand%20side%20is%20tiny%20%E2%80%94%20you%20must%20be%20nearly%0A%20%20%20%20_certain_%20the%20mushroom%20is%20edible%20before%20eating%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20cd_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D1%2C%20%20stop%3D500%2C%20step%3D1%2C%20%20value%3D20%2C%20%20label%3D%22Death%20cost%20%24c_%7B%5C%5Ctext%7Bdie%7D%7D%24%22)%0A%20%20%20%20cw_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D1%2C%20%20stop%3D20%2C%20%20step%3D1%2C%20%20value%3D1%2C%20%20%20label%3D%22Waste%20cost%20%24c_%7B%5C%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%24%22)%0A%20%20%20%20return%20cd_slider%2C%20cw_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(cd_slider%2C%20cw_slider%2C%20np%2C%20pi_D%2C%20pi_E%2C%20x_grid)%3A%0A%20%20%20%20c_D%20%3D%20float(cd_slider.value)%0A%20%20%20%20c_W%20%3D%20float(cw_slider.value)%0A%0A%20%20%20%20R_eat%20%20%20%20%20%3D%20c_D%20*%20pi_D%0A%20%20%20%20R_discard%20%3D%20c_W%20*%20pi_E%0A%0A%20%20%20%20eat_region%20%3D%20R_eat%20%3C%20R_discard%0A%20%20%20%20%23%20Decision%20boundary%20(the%20single%20eat%20%E2%86%92%20discard%20crossing%2C%20since%20R_eat%20rises%20and%0A%20%20%20%20%23%20R_discard%20falls%20monotonically).%20When%20the%20crossing%20lies%20outside%20%5B0%2C%201%5D%20there%20is%0A%20%20%20%20%23%20no%20crossing%20on%20the%20grid%2C%20so%20pin%20the%20boundary%20to%20the%20correct%20edge%3A%20x*%3D1%20if%20we%0A%20%20%20%20%23%20eat%20everywhere%2C%20x*%3D0%20if%20we%20discard%20everywhere.%0A%20%20%20%20crossings%20%3D%20np.where(np.diff(eat_region.astype(int)))%5B0%5D%0A%20%20%20%20if%20len(crossings)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_boundary%20%3D%20float(x_grid%5Bcrossings%5B0%5D%5D)%0A%20%20%20%20elif%20eat_region%5B0%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_boundary%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_boundary%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20return%20R_discard%2C%20R_eat%2C%20c_D%2C%20c_W%2C%20eat_region%2C%20x_boundary%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_DEADLY%2C%0A%20%20%20%20C_DISCARD%2C%0A%20%20%20%20C_EAT%2C%0A%20%20%20%20C_EDIBLE%2C%0A%20%20%20%20R_discard%2C%0A%20%20%20%20R_eat%2C%0A%20%20%20%20c_D%2C%0A%20%20%20%20c_W%2C%0A%20%20%20%20cd_slider%2C%0A%20%20%20%20cw_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20x_boundary%2C%0A%20%20%20%20x_grid%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20fig_risk%2C%20ax_r%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.5%2C%204.8))%0A%0A%20%20%20%20ax_r.plot(x_grid%2C%20R_eat%2C%20%20%20%20%20color%3DC_EAT%2C%20%20%20%20%20lw%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24R(%5Cmathrm%7Beat%7D%5Cmid%20x)%3Dc_%7B%5Cmathrm%7Bdie%7D%7D%5C%2C%5Cpi_%7B%5Cmathrm%7Bdeadly%7D%7D(x)%24%22)%0A%20%20%20%20ax_r.plot(x_grid%2C%20R_discard%2C%20color%3DC_DISCARD%2C%20lw%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24R(%5Cmathrm%7Bdiscard%7D%5Cmid%20x)%3Dc_%7B%5Cmathrm%7Bwaste%7D%7D%5C%2C%5Cpi_%7B%5Cmathrm%7Bedible%7D%7D(x)%24%22)%0A%20%20%20%20ax_r.axvline(x_boundary%2C%20color%3D%22black%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22boundary%20%24x%5E*%5C%5Capprox%7Bx_boundary%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ymax%20%3D%20float(np.max(%5BR_eat%2C%20R_discard%5D))%20*%201.08%0A%20%20%20%20ax_r.axvspan(0%2C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_boundary%2C%20color%3DC_EDIBLE%2C%20alpha%3D0.09)%0A%20%20%20%20ax_r.axvspan(x_boundary%2C%20%201%2C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_DEADLY%2C%20alpha%3D0.07)%0A%20%20%20%20if%20x_boundary%20%3E%200.04%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax_r.text(x_boundary%20*%200.5%2C%20%20%20%20_ymax%20*%200.90%2C%20%22eat%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20color%3DC_EDIBLE%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20if%20x_boundary%20%3C%200.96%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax_r.text((x_boundary%20%2B%201)%20*%200.5%2C%20_ymax%20*%200.90%2C%20%22discard%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20color%3DC_DEADLY%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_r.set_xlabel(%22suspicion%20score%20%24x%24%22)%0A%20%20%20%20ax_r.set_ylabel(%22conditional%20risk%22)%0A%20%20%20%20ax_r.set_title(%22Conditional%20Bayes%20risk%20%E2%80%94%20eat%20where%20the%20eat-risk%20is%20lower%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_r.set_xlim(0%2C%201)%3B%20ax_r.set_ylim(0%2C%20_ymax)%0A%20%20%20%20ax_r.legend(fontsize%3D9)%3B%20ax_r.grid(alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20%23%20threshold%20on%20posterior%20probability%0A%20%20%20%20p_threshold%20%3D%20c_W%20%2F%20(c_W%20%2B%20c_D)%0A%20%20%20%20note_risk%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Cost%20ratio%20%24c_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bdie%7D%7D%7D%7D%2Fc_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bwaste%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Bint(c_D)%7D%2F%7Bint(c_W)%7D%20%3D%20%7Bc_D%2Fc_W%3A.0f%7D%24.%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Eat%20only%20when%20%24x%20%3C%20%7Bx_boundary%3A.2f%7D%24%2C%20i.e.%5C%5C%20%24%5C%5Cpi_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bdeadly%7D%7D%7D%7D(x)%20%3C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bp_threshold%3A.3f%7D%24.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bcd_slider%2C%20cw_slider%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_risk)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(note_risk)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203%20%C2%B7%20Bayes%20risk%20%E2%80%94%20the%20total%20expected%20cost%0A%0A%20%20%20%20Integrating%20the%20conditional%20risk%20of%20the%20optimal%20rule%20over%20all%20observations%0A%20%20%20%20(weighted%20by%20the%20marginal%20density%20%24f_X(x)%24)%20gives%20the%20**Bayes%20risk**%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cmathcal%7BR%7D(a%5E*)%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D_X%5C!%5Cbigl%5BR(a%5E*(X)%5Cmid%20X)%5Cbigr%5D%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cint_0%5E1%20%5Cmin%5Cbigl%5C%7Bc_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%5C%2C%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%2C%5C%3Bc_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%5C%2C%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%5Cbigr%5C%7D%5C%3Bf_X(x)%5C%3B%5Cmathrm%7Bd%7Dx.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20We%20assume%20%24X%20%5Csim%20%5Cmathrm%7BUniform%7D(0%2C1)%24%20for%20simplicity.%0A%20%20%20%20The%20table%20below%20compares%20three%20strategies%20using%20the%20cost%20and%20posterior%20sliders%20above.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(R_discard%2C%20R_eat%2C%20c_D%2C%20c_W%2C%20eat_region%2C%20mo%2C%20np%2C%20x_grid)%3A%0A%20%20%20%20dx%20%3D%20x_grid%5B1%5D%20-%20x_grid%5B0%5D%0A%20%20%20%20R_optimal_pointwise%20%3D%20np.where(eat_region%2C%20R_eat%2C%20R_discard)%0A%20%20%20%20risk_optimal%20%20%20%20%20%20%3D%20float(np.sum(R_optimal_pointwise)%20*%20dx)%0A%20%20%20%20risk_always_eat%20%20%20%20%3D%20float(np.sum(R_eat)%20%20%20%20*%20dx)%0A%20%20%20%20risk_always_discard%3D%20float(np.sum(R_discard)%20*%20dx)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Strategy%20%7C%20Bayes%20risk%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A----------%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Always%20eat%20%7C%20%24%7Brisk_always_eat%3A.2f%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Always%20discard%20%7C%20%24%7Brisk_always_discard%3A.2f%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Optimal%20%24a%5E*%24**%20%7C%20**%24%7Brisk_optimal%3A.2f%7D%24**%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20optimal%20rule%20saves%20**%24%7Bmin(risk_always_eat%2C%20risk_always_discard)%20-%20risk_optimal%3A.2f%7D%24**%20compared%20with%20the%20better%20naive%20strategy%20(%24c_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bdie%7D%7D%7D%7D%3D%7Bint(c_D)%7D%24%2C%20%24c_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bwaste%7D%7D%7D%7D%3D%7Bint(c_W)%7D%24).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204%20%C2%B7%20The%20same%20rule%20as%20a%20likelihood-ratio%20test%0A%0A%20%20%20%20The%20previous%20section%20wrote%20the%20decision%20rule%20in%20terms%20of%20**posterior%20odds**%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%7D%7B%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%7D%20%3C%20%5Cfrac%7Bc_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%7D%7Bc_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20If%20the%20posterior%20probabilities%20came%20from%20likelihoods%20and%20priors%2C%20Bayes'%20rule%20gives%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7Bf_%7BX%5Cmid%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%5C%2C%5Cmathbb%7BP%7D(%5Ctext%7Bdeadly%7D)%7D%7Bf_X(x)%7D%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7Bf_%7BX%5Cmid%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%5C%2C%5Cmathbb%7BP%7D(%5Ctext%7Bedible%7D)%7D%7Bf_X(x)%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20The%20marginal%20density%20%24f_X(x)%24%20cancels%20in%20the%20ratio%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%7D%7B%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%7D%0A%20%20%20%20%3D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bf_%7BX%5Cmid%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%7D%7Bf_%7BX%5Cmid%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7BP%7D(%5Ctext%7Bdeadly%7D)%7D%7B%5Cmathbb%7BP%7D(%5Ctext%7Bedible%7D)%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Therefore%20the%20Bayes-risk%20decision%20is%20equivalently%20a%20**likelihood-ratio%20test**%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5CLambda(x)%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7Bf_%7BX%5Cmid%5Ctext%7Bdeadly%7D%7D(x)%7D%7Bf_%7BX%5Cmid%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%7D%0A%20%20%20%20%3C%20%5Cunderbrace%7B%5Cfrac%7Bc_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%7D%7Bc_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%7D%5C%2C%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7BP%7D(%5Ctext%7Bedible%7D)%7D%7B%5Cmathbb%7BP%7D(%5Ctext%7Bdeadly%7D)%7D%7D_%7B%5Ctext%7Bthreshold%7D%7D%0A%20%20%20%20%5Cquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cquad%20%5Ctext%7Beat%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20The%20threshold%20contains%20the%20application-specific%20information%3A%20priors%20and%20costs.%0A%20%20%20%20With%20equal%20priors%20and%20equal%20costs%2C%20this%20reduces%20to%20the%20ordinary%20maximum-likelihood%0A%20%20%20%20rule.%20With%20asymmetric%20costs%2C%20the%20likelihood%20evidence%20must%20be%20much%20stronger%20before%0A%20%20%20%20the%20risky%20action%20is%20allowed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Key%20takeaways%0A%0A%20%20%20%201.%20**Risk%20%3D%20expected%20cost.**%20The%20conditional%20risk%0A%20%20%20%20%20%20%20%24R(a%5Cmid%20x)%20%3D%20%5Csum_c%20%5Cmathcal%7BC%7D(a%2Cc)%5C%2C%5Cmathbb%7BP%7D(C%3Dc%5Cmid%20x)%24%0A%20%20%20%20%20%20%20combines%20the%20cost%20structure%20with%20the%20posterior.%20%20It%20is%20the%20correct%0A%20%20%20%20%20%20%20quantity%20to%20minimise%20%E2%80%94%20not%20the%20raw%20posterior%20probability.%0A%0A%20%20%20%202.%20**Asymmetric%20costs%20shift%20the%20decision%20boundary.**%20%20When%20%24c_%7B%5Ctext%7Bdie%7D%7D%20%5Cgg%20c_%7B%5Ctext%7Bwaste%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20you%20demand%20very%20high%20posterior%20confidence%20in%20%22edible%22%20before%20eating.%0A%20%20%20%20%20%20%20Equal%20costs%20recover%20MAP%2FML%3A%20eat%20when%20%24%5Cpi_%7B%5Ctext%7Bedible%7D%7D(x)%20%3E%200.5%24.%0A%0A%20%20%20%203.%20**The%20posterior%20alone%20is%20not%20enough.**%20%20Two%20classifiers%20that%20agree%20on%0A%20%20%20%20%20%20%20every%20posterior%20%24%5Cmathbb%7BP%7D(C%5Cmid%20x)%24%20can%20prescribe%20different%20actions%20once%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20costs%20differ.%20%20Bayesian%20decision%20theory%20separates%20_inference_%20(computing%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20posterior)%20from%20_decision-making_%20(applying%20the%20cost%20function).%0A%0A%20%20%20%204.%20**Bayes%20risk%20is%20the%20gold%20standard.**%20%20The%20Bayes-optimal%20rule%0A%20%20%20%20%20%20%20%24a%5E*(x)%20%3D%20%5Coperatorname%7Bargmin%7D_a%20R(a%5Cmid%20x)%24%20achieves%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20minimum%20expected%20cost%20over%20_all_%20possible%20decision%20rules.%0A%0A%20%20%20%205.%20**The%20likelihood-ratio%20test%20is%20the%20same%20decision%20in%20likelihood%20form.**%0A%20%20%20%20%20%20%20Applying%20Bayes'%20rule%20converts%20posterior%20odds%20into%20a%20likelihood%20ratio.%0A%20%20%20%20%20%20%20The%20threshold%20is%20not%20universal%3A%20it%20is%20set%20by%20the%20priors%20and%20the%20cost%20ratio.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A