dice mean interactive

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%20%22scipy%3D%3D1.17.1%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.13%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20stats%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22default%22)%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20stats%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20The%20Mean%20Estimator%20for%20N%20Dice%20Rolls%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%20Exploration%20of%20Sampling%20Distributions%0A%0A%20%20%20%20Following%20the%20lecture%20notes%2C%20the%20random%20mean%20estimator%20is%0A%20%20%20%20%24%5Cwidehat%7BM%7D_X%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_i%24.%20For%20one%20observed%20sample%20its%0A%20%20%20%20realization%20is%20denoted%20by%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%24.%0A%0A%20%20%20%20**What%20is%20one%20sample%3F**%0A%20%20%20%20Suppose%20we%20roll%20%24N%3D5%24%20dice%20and%20observe%20%24%5C%7B3%2C%201%2C%205%2C%202%2C%204%5C%7D%24.%0A%20%20%20%20That%20sequence%20of%20%24N%24%20numbers%20is%20**one%20sample**%2C%20and%20its%20mean%0A%20%20%20%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%20%3D%20%5Ctfrac%7B3%2B1%2B5%2B2%2B4%7D%7B5%7D%20%3D%203.0%24%20is%20**one%20realization**%20of%20the%20estimator.%0A%20%20%20%20Rolling%20five%20fresh%20dice%20gives%20a%20different%20sample%2C%20say%20%24%5C%7B6%2C%206%2C%202%2C%204%2C%201%5C%7D%24%2C%0A%20%20%20%20with%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%20%3D%203.8%24.%0A%20%20%20%20The%20randomness%20of%20sampling%20is%20what%20makes%20%24%5Cwidehat%7BM%7D_X%24%20a%20*random%20variable*.%0A%0A%20%20%20%20**Key%20Insights%3A**%0A%20%20%20%201.%20Each%20sample%20gives%20a%20*different*%20realization%20of%20%24%5Cwidehat%7BM%7D_X%24%0A%20%20%20%202.%20The%20distribution%20of%20realizations%20is%20the%20*sampling%20distribution*%0A%20%20%20%203.%20As%20N%20increases%2C%20realizations%20concentrate%20around%20the%20true%20mean%0A%20%20%20%204.%20The%20Central%20Limit%20Theorem%20explains%20the%20normal%20shape%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Single%20Sample%2C%20Single%20Realization%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20N_single%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20rolls%20(N)%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20seed_single%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20N_single%2C%20seed_single%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_single%2C%20np%2C%20plt%2C%20seed_single)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed_single.value)%0A%20%20%20%20rolls_single%20%3D%20_rng.integers(1%2C%207%2C%20size%3DN_single.value)%0A%20%20%20%20estimate_single%20%3D%20np.mean(rolls_single)%0A%20%20%20%20m_true%20%3D%203.5%0A%0A%20%20%20%20fig1%2C%20ax1%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(11%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20ax1.bar(range(1%2C%207)%2C%20%5Bnp.sum(rolls_single%20%3D%3D%20i)%20for%20i%20in%20range(1%2C%207)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'steelblue'%2C%20alpha%3D0.7%2C%20edgecolor%3D'black')%0A%20%20%20%20ax1.set_xlabel('Die%20Face'%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax1.set_ylabel('Count'%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax1.set_title(f'Distribution%20of%20%7BN_single.value%7D%20Rolls'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20ax1.set_xticks(range(1%2C%207))%0A%20%20%20%20ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20axis%3D'y')%0A%0A%20%20%20%20info%20%3D%20f%22Sample%20mean%3A%20%7Bestimate_single%3A.3f%7D%20%20%7C%20%20True%20mean%3A%20%7Bm_true%7D%20%20%7C%20%20Error%3A%20%7Bestimate_single%20-%20m_true%3A.3f%7D%22%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20return%20fig1%2C%20info%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_single%2C%20fig1%2C%20info%2C%20mo%2C%20seed_single)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BN_single%2C%20seed_single%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**%7Binfo%7D**%22)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Few%20Samples%3A%20Emphasizing%20Variability%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20num_few%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20samples%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20N_few%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Rolls%20per%20sample%20(N)%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20seed_few%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20N_few%2C%20num_few%2C%20seed_few%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_few%2C%20np%2C%20num_few%2C%20seed_few)%3A%0A%20%20%20%20m_true_few%20%3D%203.5%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed_few.value)%0A%0A%20%20%20%20estimates_few_list%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range(num_few.value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rolls%20%3D%20_rng.integers(1%2C%207%2C%20size%3DN_few.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20estimates_few_list.append(np.mean(_rolls))%0A%0A%20%20%20%20estimates_few%20%3D%20np.array(estimates_few_list)%0A%20%20%20%20return%20estimates_few%2C%20m_true_few%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_few%2C%20estimates_few%2C%20m_true_few%2C%20np%2C%20num_few%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20fig2%2C%20ax2%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(11%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20x_pos%20%3D%20np.arange(len(estimates_few))%0A%20%20%20%20ax2.scatter(x_pos%2C%20estimates_few%2C%20s%3D120%2C%20alpha%3D0.7%2C%20color%3D'steelblue'%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20ax2.axhline(y%3Dm_true_few%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df'True%20mean%20(m%20%3D%20%7Bm_true_few%7D)'%2C%20zorder%3D2)%0A%20%20%20%20ax2.vlines(x_pos%2C%20m_true_few%2C%20estimates_few%2C%20colors%3D'gray'%2C%20linestyles%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20ax2.set_xlabel('Sample%20index'%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax2.set_ylabel(r'Realization%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%24'%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax2.set_title(rf'Realizations%20of%20%24%5Cwidehat%7B%7BM%7D%7D_X%24%20across%20%7Bnum_few.value%7D%20samples%20(N%3D%7BN_few.value%7D)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20ax2.set_xticks(x_pos)%0A%20%20%20%20ax2.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax2.set_ylim(%5Bm_true_few%20-%201.5%2C%20m_true_few%20%2B%201.5%5D)%0A%0A%20%20%20%20stats_text%20%3D%20f%22Min%3A%20%7Bestimates_few.min()%3A.3f%7D%20%20%7C%20%20Max%3A%20%7Bestimates_few.max()%3A.3f%7D%20%20%7C%20%20Std%3A%20%7Bnp.std(estimates_few)%3A.3f%7D%22%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20return%20fig2%2C%20stats_text%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_few%2C%20fig2%2C%20mo%2C%20num_few%2C%20seed_few%2C%20stats_text)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bnum_few%2C%20N_few%2C%20seed_few%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**%7Bstats_text%7D**%22)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Sampling%20Distribution%3A%20Build%20the%20Full%20Picture%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20N_dist%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Rolls%20per%20sample%20(N)%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20num_reps_dist%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D5000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D20000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20realizations%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20seed_dist%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20seed%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20N_dist%2C%20num_reps_dist%2C%20seed_dist%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_dist%2C%20np%2C%20num_reps_dist%2C%20seed_dist)%3A%0A%20%20%20%20m_true_dist%20%3D%203.5%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed_dist.value)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Generate%20sampling%20distribution%0A%20%20%20%20_rolls_all%20%3D%20_rng.integers(1%2C%207%2C%20size%3D(num_reps_dist.value%2C%20N_dist.value))%0A%20%20%20%20estimates_dist_array%20%3D%20_rolls_all.mean(axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20emp_mean_dist%20%3D%20np.mean(estimates_dist_array)%0A%20%20%20%20emp_std_dist%20%3D%20np.std(estimates_dist_array%2C%20ddof%3D1)%0A%20%20%20%20theo_std_dist%20%3D%20np.sqrt(35%20%2F%2012%20%2F%20N_dist.value)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Exact%20PMF%20via%20convolution%20of%20N%20uniform-die%20PMFs%0A%20%20%20%20_single%20%3D%20np.ones(6)%20%2F%206%0A%20%20%20%20_sum_pmf%20%3D%20_single.copy()%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range(N_dist.value%20-%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sum_pmf%20%3D%20np.convolve(_sum_pmf%2C%20_single)%0A%20%20%20%20exact_means%20%3D%20np.arange(N_dist.value%2C%206%20*%20N_dist.value%20%2B%201)%20%2F%20N_dist.value%0A%20%20%20%20exact_probs%20%3D%20_sum_pmf%0A%0A%20%20%20%20%23%20Estimated%20PMF%3A%20count%20occurrences%20at%20each%20exact%20discrete%20value%0A%20%20%20%20_int_sums%20%3D%20np.round(estimates_dist_array%20*%20N_dist.value).astype(int)%0A%20%20%20%20_counts%20%3D%20np.bincount(_int_sums%20-%20N_dist.value%2C%20minlength%3D5%20*%20N_dist.value%20%2B%201)%0A%20%20%20%20emp_probs%20%3D%20_counts%5B%3A5%20*%20N_dist.value%20%2B%201%5D%20%2F%20num_reps_dist.value%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20emp_mean_dist%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20emp_probs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20emp_std_dist%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact_means%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact_probs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m_true_dist%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theo_std_dist%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20N_dist%2C%0A%20%20%20%20emp_mean_dist%2C%0A%20%20%20%20emp_probs%2C%0A%20%20%20%20emp_std_dist%2C%0A%20%20%20%20exact_means%2C%0A%20%20%20%20exact_probs%2C%0A%20%20%20%20m_true_dist%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20num_reps_dist%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20stats%2C%0A%20%20%20%20theo_std_dist%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20fig3%2C%20(ax3%2C%20ax3_cdf)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%3A%20true%20PMF%20and%20estimated%20PMF%20as%20Dirac%20arrows%0A%20%20%20%20ax3.vlines(exact_means%2C%200%2C%20exact_probs%2C%20colors%3D'steelblue'%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20alpha%3D0.9%2C%20label%3D'True%20PMF')%0A%20%20%20%20ax3.plot(exact_means%2C%20exact_probs%2C%20'%5E'%2C%20markersize%3D3%2C%20color%3D'steelblue')%0A%20%20%20%20ax3.vlines(exact_means%2C%200%2C%20emp_probs%2C%20colors%3D'darkorange'%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20alpha%3D0.65%2C%20label%3Df'Estimated%20PMF%20(%7Bnum_reps_dist.value%7D%20samples)')%0A%20%20%20%20ax3.plot(exact_means%2C%20emp_probs%2C%20'v'%2C%20markersize%3D3%2C%20color%3D'darkorange')%0A%20%20%20%20ax3.axhline(0%2C%20color%3D'black'%2C%20linewidth%3D0.8)%0A%20%20%20%20ax3.axvline(x%3Dm_true_dist%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D1.8%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3Df'True%20mean%20(%7Bm_true_dist%7D)')%0A%0A%20%20%20%20ax3.set_xlabel(r'Sample%20mean%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%24'%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax3.set_ylabel(r'Probability%20%24P(%5Cwidehat%7BM%7D_X%20%3D%20x)%24'%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax3.set_title(rf'PMF%20of%20%24%5Cwidehat%7B%7BM%7D%7D_X%24%20(N%3D%7BN_dist.value%7D)'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20ax3.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20ax3.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax3.set_xlim(%5B1%2C%206%5D)%0A%20%20%20%20ax3.set_xticks(np.arange(1%2C%206.5%2C%200.5))%0A%20%20%20%20ax3.set_ylim(%5B0%2C%20max(exact_probs.max()%2C%20emp_probs.max())%20*%201.25%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%3A%20true%20CDF%2C%20estimated%20CDF%2C%20and%20Normal%20approximation%20(CLT)%0A%20%20%20%20x_range_dist%20%3D%20np.linspace(1%2C%206%2C%20400)%0A%20%20%20%20theo_cdf_vals%20%3D%20stats.norm.cdf(x_range_dist%2C%20loc%3Dm_true_dist%2C%20scale%3Dtheo_std_dist)%0A%20%20%20%20true_cdf%20%3D%20np.cumsum(exact_probs)%0A%20%20%20%20est_cdf%20%3D%20np.cumsum(emp_probs)%0A%20%20%20%20ax3_cdf.step(exact_means%2C%20true_cdf%2C%20where%3D'post'%2C%20color%3D'steelblue'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'True%20CDF')%0A%20%20%20%20ax3_cdf.step(exact_means%2C%20est_cdf%2C%20where%3D'post'%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.8%2C%20label%3Df'Estimated%20CDF%20(%7Bnum_reps_dist.value%7D%20samples)')%0A%20%20%20%20ax3_cdf.plot(x_range_dist%2C%20theo_cdf_vals%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D1%2C%20label%3D'Normal%20approx.%20(CLT)')%0A%20%20%20%20ax3_cdf.axvline(x%3Dm_true_dist%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D0.8%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3D'True%20mean')%0A%20%20%20%20ax3_cdf.set_xlabel(r'Sample%20mean%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%24'%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax3_cdf.set_ylabel('Cumulative%20Probability'%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax3_cdf.set_title('CDF%3A%20True%2C%20Estimated%2C%20Normal%20approx.%20(CLT)'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20ax3_cdf.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20ax3_cdf.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax3_cdf.set_xlim(%5B1%2C%206%5D)%0A%20%20%20%20ax3_cdf.set_ylim(%5B0%2C%201%5D)%0A%20%20%20%20ax3_cdf.set_xticks(np.arange(1%2C%206.5%2C%200.5))%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20stats_text_dist%20%3D%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Statistics%20(N%3D%7BN_dist.value%7D%20rolls%2Fsample%2C%20%7Bnum_reps_dist.value%7D%20samples)%3A**%0A%20%20%20%20-%20True%20mean%3A%20%7Bm_true_dist%3A.4f%7D%20%7C%20Empirical%20mean%3A%20%7Bemp_mean_dist%3A.4f%7D%0A%20%20%20%20-%20True%20std%3A%20%7Btheo_std_dist%3A.4f%7D%20%7C%20Empirical%20std%3A%20%7Bemp_std_dist%3A.4f%7D%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20fig3%2C%20stats_text_dist%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_dist%2C%20fig3%2C%20mo%2C%20num_reps_dist%2C%20seed_dist%2C%20stats_text_dist)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BN_dist%2C%20num_reps_dist%2C%20seed_dist%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig3)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(stats_text_dist)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Key%20Insights%0A%0A%20%20%20%201.%20**Variability%20Across%20Samples**%3A%20Each%20sample%20produces%20a%20different%20realization%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%24%20of%20the%20estimator%20%24%5Cwidehat%7BM%7D_X%24%0A%0A%20%20%20%202.%20**Sampling%20Distribution**%3A%20The%20collection%20of%20all%20realizations%20follows%20a%20predictable%20distribution%0A%0A%20%20%20%203.%20**Convergence**%3A%20As%20%24N%24%20increases%2C%20estimates%20concentrate%20around%20the%20true%20mean%20%24m_X%20%3D%203.5%24%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Variance%20decreases%20as%20%24%5Cmathbb%7BV%7D%5B%5Cwidehat%7BM%7D_X%5D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csigma_X%5E2%7D%7BN%7D%24%0A%0A%20%20%20%204.%20**Central%20Limit%20Theorem**%3A%20For%20large%20%24N%24%2C%20the%20sampling%20distribution%20is%20approximately%20normal%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Even%20though%20individual%20die%20rolls%20are%20uniform!%0A%20%20%20%20%20%20%20-%20Standardized%20estimator%3A%20%24%5Cfrac%7B%5Cwidehat%7BM%7D_X-m_X%7D%7B%5Csigma_X%2F%5Csqrt%7BN%7D%7D%20%5Capprox%20%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C1)%24%0A%0A%20%20%20%205.%20**Theoretical%20Match**%3A%20Empirical%20results%20closely%20match%20theoretical%20predictions%0A%0A%20%20%20%20**Why%20This%20Matters**%3A%20This%20foundation%20explains%20confidence%20intervals%2C%20hypothesis%20testing%2C%20and%20most%20of%20statistical%20inference!%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A