interval estimation interactive

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%20%22scipy%3D%3D1.17.1%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.13%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy.stats%20import%20expon%2C%20norm%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22default%22)%0A%20%20%20%20return%20expon%2C%20mo%2C%20norm%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Elementary%20Classical%20Interval%20Estimation%0A%0A%20%20%20%20A%20point%20estimate%20like%20the%20sample%20mean%20is%20almost%20never%20exactly%20right.%20An%20**interval%0A%20%20%20%20estimate**%20instead%20reports%20a%20range%20that%20contains%20the%20true%20parameter%20with%20a%20stated%0A%20%20%20%20confidence%20%24%5Cgamma%20%3D%201-%5Cdelta%24%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cmathbb%7BP%7D%5C!%5Cleft(%5CPhi_1%20%3C%20%5Cphi%20%3C%20%5CPhi_2%5Cright)%20%3D%20%5Cgamma%20.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20We%20estimate%20the%20**mean**%20%24m_X%24%20of%20a%20random%20variable%20%24X%24%20from%20a%20**sample**%20of%20size%20%24N%24.%0A%20%20%20%20By%20the%20central%20limit%20theorem%20the%20sample-mean%20estimator%20is%20approximately%20Gaussian%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cwidehat%7BM%7D_X%20%5C%3B%5Csim%5C%3B%20%5Cmathcal%7BN%7D%5C!%5CBig(m_X%2C%5C%3B%20%5Ctfrac%7B%5Csigma_X%5E2%7D%7BN%7D%5CBig)%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20so%20a%20confidence%20interval%20follows%20directly%20from%20the%20**68%E2%80%9395%E2%80%9399.7%20rule**%3A%20one%2C%20two%20and%0A%20%20%20%20three%20standard%20errors%20%24%5Csigma_X%2F%5Csqrt%7BN%7D%24%20around%20the%20estimate%20capture%20about%20%2468.3%5C%25%24%2C%0A%20%20%20%20%2495.4%5C%25%24%20and%20%2499.7%5C%25%24%20of%20the%20probability.%0A%0A%20%20%20%20As%20in%20the%20lecture%20notes%20we%20use%20the%20**exponential%20distribution**%0A%20%20%20%20%24f_X(x)%20%3D%20%5Clambda%20e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%24%20(%24x%5Cge%200%24)%2C%20for%20which%20%24m_X%20%3D%201%2F%5Clambda%24%20and%0A%20%20%20%20%24%5Csigma_X%20%3D%201%2F%5Clambda%20%3D%20m_X%24.%20So%20the%20standard%20error%20is%20estimated%20simply%20as%0A%20%20%20%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%2F%5Csqrt%7BN%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20three%20steps%0A%0A%20%20%20%20Following%20the%20recipe%20from%20the%20notes%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Take%20a%20sample**%20%24x_1%2C%5Cldots%2Cx_N%24%20of%20size%20%24N%24%20and%20estimate%20the%20arithmetic%20mean%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%20%3D%20%5Ctfrac1N%5Csum_i%20x_i%24.%0A%20%20%20%202.%20**Pick%20the%20confidence**%20%24%5Cgamma%3D1-%5Cdelta%24%20and%20read%20off%20the%20standard-normal%20quantile%0A%20%20%20%20%20%20%20%24z_%7B1-%5Cdelta%2F2%7D%24%20%E2%80%94%20here%20simply%20%24z%20%3D%201%2C%202%2C%203%24%20for%20the%20%2468%2F95%2F99.7%24%20levels.%0A%20%20%20%203.%20**Denormalize**%20to%20interval%20bounds%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%20%5Cpm%20z%5C%2C%5Csigma_X%2F%5Csqrt%7BN%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20meanT_a%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.5%2C%20stop%3D5.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D2.0%2C%20label%3D%22true%20mean%20m%E2%82%93%20%3D%201%2F%CE%BB%22)%0A%20%20%20%20N_a%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D2%2C%20stop%3D200%2C%20step%3D1%2C%20value%3D25%2C%20label%3D%22sample%20size%20N%22)%0A%20%20%20%20seed_a%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D300%2C%20step%3D1%2C%20value%3D7%2C%20label%3D%22random%20seed%22)%0A%20%20%20%20return%20N_a%2C%20meanT_a%2C%20seed_a%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_a%2C%20meanT_a%2C%20np%2C%20seed_a)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(int(seed_a.value))%0A%20%20%20%20m_true_a%20%3D%20float(meanT_a.value)%0A%20%20%20%20samples_a%20%3D%20_rng.exponential(scale%3Dm_true_a%2C%20size%3Dint(N_a.value))%0A%20%20%20%20mhat_a%20%3D%20float(np.mean(samples_a))%0A%20%20%20%20se_a%20%3D%20mhat_a%20%2F%20np.sqrt(int(N_a.value))%20%20%23%20sigma_X%20%3D%20m_X%20for%20the%20exponential%0A%20%20%20%20return%20m_true_a%2C%20mhat_a%2C%20samples_a%2C%20se_a%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_a%2C%20expon%2C%20m_true_a%2C%20mhat_a%2C%20norm%2C%20np%2C%20plt%2C%20samples_a%2C%20se_a)%3A%0A%20%20%20%20_N%20%3D%20int(N_a.value)%0A%20%20%20%20_zs%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%203%5D%0A%20%20%20%20_levels%20%3D%20%5B2%20*%20norm.cdf(_z)%20-%201%20for%20_z%20in%20_zs%5D%0A%0A%20%20%20%20fig_a%2C%20(_ax1%2C%20_ax2%2C%20_ax3)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%203%2C%201%2C%20figsize%3D(9.5%2C%2010)%2C%20gridspec_kw%3D%7B%22height_ratios%22%3A%20%5B2%2C%202%2C%201.3%5D%7D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20----%20Step%201%3A%20observations%20and%20the%20sample%20mean%20----%0A%20%20%20%20_xmax%20%3D%20max(samples_a.max()%2C%20expon.ppf(0.99%2C%20scale%3Dm_true_a))%0A%20%20%20%20_xg%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_xmax%2C%20400)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(_xg%2C%20expon.pdf(_xg%2C%20scale%3Dm_true_a)%2C%20color%3D%22%231f77b4%22%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22population%20%20%24f_X(x)%3D%5C%5Clambda%20e%5E%7B-%5C%5Clambda%20x%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax1.hist(samples_a%2C%20bins%3Dmin(20%2C%20max(5%2C%20_N%20%2F%2F%203))%2C%20density%3DTrue%2C%20color%3D%22%231f77b4%22%2C%20alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(samples_a%2C%20np.full_like(samples_a%2C%20-0.01%20%2F%20m_true_a)%2C%20%22%7C%22%2C%20color%3D%22black%22%2C%20ms%3D12%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_ax1.axvline(m_true_a%2C%20color%3D%22green%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20label%3Df%22true%20mean%20%24m_X%24%3D%7Bm_true_a%3A.2f%7D%22)%0A%20%20%20%20_ax1.axvline(mhat_a%2C%20color%3D%22%23d62728%22%2C%20lw%3D2%2C%20label%3Df%22estimate%20%24%5C%5Cwidehat%20m_X%24%3D%7Bmhat_a%3A.2f%7D%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(%22Step%201%20%E2%80%94%20draw%20a%20sample%20of%20size%20N%2C%20estimate%20the%20mean%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlabel(%22x%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel(%22density%22)%0A%20%20%20%20_ax1.legend(fontsize%3D8)%0A%20%20%20%20_ax1.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20----%20Step%202%3A%20CLT%20sampling%20distribution%20and%20the%2068-95-99.7%20rule%20----%0A%20%20%20%20_lo%20%3D%20min(mhat_a%20-%203.6%20*%20se_a%2C%20m_true_a)%20-%200.4%20*%20se_a%0A%20%20%20%20_hi%20%3D%20max(mhat_a%20%2B%203.6%20*%20se_a%2C%20m_true_a)%20%2B%200.4%20*%20se_a%0A%20%20%20%20_mg%20%3D%20np.linspace(_lo%2C%20_hi%2C%20400)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(_mg%2C%20norm.pdf(_mg%2C%20mhat_a%2C%20se_a)%2C%20color%3D%22%231f77b4%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20for%20_z%20in%20_zs%5B%3A%3A-1%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.axvspan(mhat_a%20-%20_z%20*%20se_a%2C%20mhat_a%20%2B%20_z%20*%20se_a%2C%20color%3D%22%231f77b4%22%2C%20alpha%3D0.10)%0A%20%20%20%20for%20_z%20in%20_zs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.axvline(mhat_a%20%2B%20_z%20*%20se_a%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.axvline(mhat_a%20-%20_z%20*%20se_a%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(mhat_a%2C%20color%3D%22%23d62728%22%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(m_true_a%2C%20color%3D%22green%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1.6)%0A%20%20%20%20_ytxt%20%3D%20norm.pdf(0%2C%200%2C%20se_a)%0A%20%20%20%20for%20_z%2C%20_lv%20in%20zip(_zs%2C%20_levels)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.text(mhat_a%20%2B%20_z%20*%20se_a%2C%20_ytxt%20*%201.02%2C%20f%22%20%20%7B_z%7D%CF%83%5Cn%20%20%7B100*_lv%3A.1f%7D%25%22%2C%20fontsize%3D8%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(r%22Step%202%20%E2%80%94%20CLT%3A%20%24%5Cwidehat%7BM%7D_X%5Capprox%5Cmathcal%7BN%7D(m_X%2C%5Csigma_X%5E2%2FN)%24%2C%20the%2068%E2%80%9395%E2%80%9399.7%20rule%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(%22candidate%20mean%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(%22density%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(_lo%2C%20_hi)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylim(0%2C%20_ytxt%20*%201.25)%0A%20%20%20%20_ax2.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20----%20Step%203%3A%20denormalize%20into%20confidence%20intervals%20----%0A%20%20%20%20for%20_z%2C%20_lv%20in%20zip(_zs%2C%20_levels)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lo_i%2C%20_hi_i%20%3D%20mhat_a%20-%20_z%20*%20se_a%2C%20mhat_a%20%2B%20_z%20*%20se_a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ok%20%3D%20_lo_i%20%3C%20m_true_a%20%3C%20_hi_i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c%20%3D%20%22%232ca02c%22%20if%20_ok%20else%20%22%23d62728%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax3.plot(%5B_lo_i%2C%20_hi_i%5D%2C%20%5B_z%2C%20_z%5D%2C%20color%3D_c%2C%20lw%3D4%2C%20solid_capstyle%3D%22round%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax3.plot(%5Bmhat_a%5D%2C%20%5B_z%5D%2C%20%22o%22%2C%20color%3D%22%23d62728%22%2C%20ms%3D6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax3.text(_hi%2C%20_z%2C%20f%22%20%20%7B100*_lv%3A.1f%7D%25%20%20(%7B_z%7D%CF%83)%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax3.axvline(m_true_a%2C%20color%3D%22green%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20label%3D%22true%20mean%22)%0A%20%20%20%20_ax3.set_yticks(_zs)%0A%20%20%20%20_ax3.set_yticklabels(%5Bf%22%C2%B1%7B_z%7D%CF%83%22%20for%20_z%20in%20_zs%5D)%0A%20%20%20%20_ax3.set_ylim(0.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_ax3.set_xlim(_lo%2C%20_hi)%0A%20%20%20%20_ax3.set_title(r%22Step%203%20%E2%80%94%20confidence%20intervals%20%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%20%5Cpm%20z%5C%2C%5Csigma_X%2F%5Csqrt%7BN%7D%24%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax3.set_xlabel(%22mean%22)%0A%20%20%20%20_ax3.legend(fontsize%3D8%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20_ax3.grid(alpha%3D0.3%2C%20axis%3D%22x%22)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20note_a%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Sample%20size%20%24N%3D%7B_N%7D%24%2C%20%24%5C%5Cwidehat%20m_X%3D%7Bmhat_a%3A.3f%7D%24%2C%20standard%20error%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24%5C%5Csigma_X%2F%5C%5Csqrt%20N%20%5C%5Capprox%20%5C%5Cwidehat%20m_X%2F%5C%5Csqrt%20N%20%3D%20%7Bse_a%3A.3f%7D%24.%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%22%20%20%22.join(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**%7B100*_lv%3A.1f%7D%25**%3A%20%24%5B%7Bmhat_a-_z*se_a%3A.2f%7D%2C%5C%5C%2C%7Bmhat_a%2B_z*se_a%3A.2f%7D%5D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_z%2C%20_lv%20in%20zip(_zs%2C%20_levels)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20f%22.%20%20(True%20mean%20%24m_X%3D%7Bm_true_a%3A.2f%7D%24.)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20fig_a%2C%20note_a%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_a%2C%20fig_a%2C%20meanT_a%2C%20mo%2C%20note_a%2C%20seed_a)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BmeanT_a%2C%20N_a%2C%20seed_a%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_a)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(note_a)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20does%20the%20confidence%20level%20mean%3F%0A%0A%20%20%20%20The%20true%20mean%20is%20fixed%3B%20the%20**interval**%20is%20random%20%E2%80%94%20it%20shifts%20with%20each%20new%20sample.%0A%20%20%20%20A%20%2495%5C%25%24%20interval%20means%3A%20*if%20we%20repeated%20the%20experiment%20many%20times%2C%20about%20%2495%5C%25%24%20of%20the%0A%20%20%20%20intervals%20would%20contain%20the%20true%20mean*.%20Run%20many%20experiments%20below%20and%20watch%20the%0A%20%20%20%20empirical%20coverage%20approach%20the%20nominal%20level.%20(With%20small%20%24N%24%20the%20exponential's%20skew%0A%20%20%20%20makes%20the%20normal%20approximation%20slightly%20optimistic.)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20level_b%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%2268.3%20%25%20(1%CF%83)%22%3A%201%2C%20%2295.4%20%25%20(2%CF%83)%22%3A%202%2C%20%2299.7%20%25%20(3%CF%83)%22%3A%203%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%2295.4%20%25%20(2%CF%83)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22confidence%20level%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20meanT_b%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.5%2C%20stop%3D5.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D2.0%2C%20label%3D%22true%20mean%20m%E2%82%93%20%3D%201%2F%CE%BB%22)%0A%20%20%20%20N_b%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D2%2C%20stop%3D200%2C%20step%3D1%2C%20value%3D25%2C%20label%3D%22sample%20size%20N%22)%0A%20%20%20%20trials_b%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D20%2C%20stop%3D300%2C%20step%3D10%2C%20value%3D100%2C%20label%3D%22number%20of%20experiments%22)%0A%20%20%20%20seed_b%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D300%2C%20step%3D1%2C%20value%3D0%2C%20label%3D%22random%20seed%22)%0A%20%20%20%20return%20N_b%2C%20level_b%2C%20meanT_b%2C%20seed_b%2C%20trials_b%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_b%2C%20level_b%2C%20meanT_b%2C%20norm%2C%20np%2C%20plt%2C%20seed_b%2C%20trials_b)%3A%0A%20%20%20%20_z%20%3D%20int(level_b.value)%0A%20%20%20%20_level%20%3D%202%20*%20norm.cdf(_z)%20-%201%0A%20%20%20%20_N%20%3D%20int(N_b.value)%0A%20%20%20%20_M%20%3D%20int(trials_b.value)%0A%20%20%20%20_m%20%3D%20float(meanT_b.value)%0A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(int(seed_b.value))%0A%20%20%20%20_data%20%3D%20_rng.exponential(scale%3D_m%2C%20size%3D(_M%2C%20_N))%0A%20%20%20%20_mhat%20%3D%20_data.mean(axis%3D1)%0A%20%20%20%20_se%20%3D%20_mhat%20%2F%20np.sqrt(_N)%0A%20%20%20%20_lo%20%3D%20_mhat%20-%20_z%20*%20_se%0A%20%20%20%20_hi%20%3D%20_mhat%20%2B%20_z%20*%20_se%0A%20%20%20%20_covers%20%3D%20(_lo%20%3C%20_m)%20%26%20(_m%20%3C%20_hi)%0A%20%20%20%20_coverage%20%3D%20float(_covers.mean())%0A%0A%20%20%20%20fig_b%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9.5%2C%206.5))%0A%20%20%20%20_yy%20%3D%20np.arange(_M)%0A%20%20%20%20for%20_ok%2C%20_color%20in%20%5B(True%2C%20%22%232ca02c%22)%2C%20(False%2C%20%22%23d62728%22)%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sel%20%3D%20_covers%20%3D%3D%20_ok%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.hlines(_yy%5B_sel%5D%2C%20_lo%5B_sel%5D%2C%20_hi%5B_sel%5D%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.2%2C%20alpha%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_mhat%2C%20_yy%2C%20%22.%22%2C%20color%3D%22black%22%2C%20ms%3D2%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(_m%2C%20color%3D%22green%22%2C%20lw%3D2%2C%20label%3Df%22true%20mean%20%24m_X%24%3D%7B_m%3A.2f%7D%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B_M%7D%20experiments%20%E2%80%94%20nominal%20%7B100*_level%3A.1f%7D%25%2C%20empirical%20coverage%20%7B100*_coverage%3A.1f%7D%25%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22(%7Bint(_covers.sum())%7D%2F%7B_M%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22mean%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22experiment%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D%22upper%20right%22%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax.grid(alpha%3D0.3%2C%20axis%3D%22x%22)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_miss%20%3D%20_M%20-%20int(_covers.sum())%0A%20%20%20%20note_b%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Nominal%20confidence%20**%7B100*_level%3A.1f%7D%25**%20(%7B_z%7D%CF%83)%2C%20sample%20size%20%24N%3D%7B_N%7D%24.%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Empirical%20coverage%20**%7B100*_coverage%3A.1f%7D%25**%20%E2%80%94%20%7Bint(_covers.sum())%7D%20of%20%7B_M%7D%20intervals%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22contain%20the%20true%20mean%2C%20%7B_miss%7D%20miss%20(red).%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20fig_b%2C%20note_b%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(N_b%2C%20fig_b%2C%20level_b%2C%20meanT_b%2C%20mo%2C%20note_b%2C%20seed_b%2C%20trials_b)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Blevel_b%2C%20meanT_b%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BN_b%2C%20trials_b%2C%20seed_b%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_b)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(note_b)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Key%20takeaways%0A%0A%20%20%20%201.%20**Three%20steps.**%20Estimate%20the%20mean%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%24%2C%20pick%20the%20quantile%20%24z_%7B1-%5Cdelta%2F2%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20and%20denormalize%20to%20%24%5Cwidehat%7Bm%7D_X%20%5Cpm%20z%5C%2C%5Csigma_X%2F%5Csqrt%7BN%7D%24.%0A%0A%20%20%20%202.%20**68%E2%80%9395%E2%80%9399.7.**%20Because%20the%20sample%20mean%20is%20approximately%20Gaussian%2C%20%24z%3D1%2C2%2C3%24%20standard%0A%20%20%20%20%20%20%20errors%20give%20the%20%2468.3%2F95.4%2F99.7%5C%25%24%20intervals%20%E2%80%94%20wider%20intervals%20buy%20more%20confidence.%0A%0A%20%20%20%203.%20**Coverage%20is%20a%20long-run%20property.**%20The%20parameter%20is%20fixed%3B%20the%20interval%20is%20random.%0A%20%20%20%20%20%20%20A%20%24%5Cgamma%24-interval%20contains%20the%20truth%20in%20a%20fraction%20%24%5Cgamma%24%20of%20repeated%20experiments.%0A%0A%20%20%20%204.%20**More%20data%2C%20tighter%20intervals.**%20The%20standard%20error%20shrinks%20like%20%241%2F%5Csqrt%7BN%7D%24%2C%20so%20all%0A%20%20%20%20%20%20%20three%20intervals%20narrow%20as%20%24N%24%20grows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A