matched filter detection interactive

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%20%22scipy%3D%3D1.17.1%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.13%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy.special%20import%20erfc%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22default%22)%0A%20%20%20%20return%20erfc%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20The%20matched%20filter%3A%20detecting%20a%20known%20signal%20in%20noise%0A%0A%20%20%20%20We%20switch%20criteria.%20The%20Wiener%20filter%20minimized%20**mean%20squared%20error**%20to%20*reconstruct*%20a%0A%20%20%20%20signal.%20The%20matched%20filter%20instead%20**maximizes%20the%20output%20SNR**%20at%20a%20single%20instant%20%24k_0%24%20to%0A%20%20%20%20*decide%20whether%20a%20known%20reference%20signal%20is%20present%20at%20all*%20%E2%80%94%20the%20**detection**%20problem.%0A%0A%20%20%20%20The%20observation%20is%20a%20deterministic%2C%20known%20reference%20%24u%5Bk%5D%24%20in%20additive%20white%20noise%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20H_1%3A%5C%3B%20X%5Bk%5D%20%3D%20u%5Bk%5D%20%2B%20N%5Bk%5D%20%5Cquad(%5Ctext%7Bpresent%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20H_0%3A%5C%3B%20X%5Bk%5D%20%3D%20N%5Bk%5D%20%5Cquad(%5Ctext%7Babsent%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%20R_%7BNN%7D%5B%5Ckappa%5D%3DR_0%5C%2C%5Cdelta%5B%5Ckappa%5D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Maximizing%20the%20output%20SNR%20is%20a%20Cauchy%E2%80%93Schwarz%20problem%3B%20its%20solution%20is%20the%20**time-reversed%0A%20%20%20%20reference**%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20h_%5Cstar%5Bk%5D%20%5C%3B%5Cpropto%5C%3B%20u%5B-k%5D%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%5Ctext%7Boutput%7D%5Cquad%0A%20%20%20%20%5Cwidehat%7By%7D%5Bk%5D%20%5C%3B%5Cpropto%5C%3B%20R_%7Buu%7D%5Bk-k_0%5D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20a%20peak%20that%20depends%20only%20on%20the%20**signal%20energy**%20%24E_b%3D%5Csum_k%20u%5E2%5Bk%5D%24%20and%20the%20noise%20power%20%24R_0%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5CGamma%20%3D%201%20%2B%20%5Cfrac%7BE_b%7D%7BR_0%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20Gaussian%20noise%20this%20*same*%20statistic%20%24T%3D%5Clangle%20X%2Cu%5Crangle%24%20is%20the%20Neyman%E2%80%93Pearson%0A%20%20%20%20likelihood-ratio%20test%2C%20so%20the%20matched%20filter%20is%20simultaneously%20the%20**max-SNR%20filter**%20and%20the%0A%20%20%20%20**optimal%20detector**%20%E2%80%94%20the%20two%20readings%20we%20explore%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20pulse_type%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22Rectangular%22%2C%20%22Triangular%22%2C%20%22Sine%20burst%22%2C%20%22Chirp%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Chirp%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Reference%20pulse%20u%5Bk%5D%3A%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pulse_length%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D32%2C%20start%3D8%2C%20stop%3D64%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Pulse%20length%20P%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20noise_std%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D3.0%2C%20start%3D0.5%2C%20stop%3D8.0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22Noise%20std%20(sqrt%20R0)%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20noise_seed%20%3D%20mo.ui.slider(value%3D3%2C%20start%3D0%2C%20stop%3D50%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Noise%20seed%3A%22)%0A%20%20%20%20return%20noise_seed%2C%20noise_std%2C%20pulse_length%2C%20pulse_type%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20pulse_length%2C%20pulse_type)%3A%0A%20%20%20%20P%20%3D%20pulse_length.value%0A%20%20%20%20n_axis%20%3D%20np.arange(P)%0A%0A%20%20%20%20if%20pulse_type.value%20%3D%3D%20%22Rectangular%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reference%20%3D%20np.ones(P)%0A%20%20%20%20elif%20pulse_type.value%20%3D%3D%20%22Triangular%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reference%20%3D%201.0%20-%20np.abs(2.0%20*%20n_axis%20%2F%20(P%20-%201)%20-%201.0)%0A%20%20%20%20elif%20pulse_type.value%20%3D%3D%20%22Sine%20burst%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_env%20%3D%20np.exp(-0.5%20*%20((n_axis%20-%20(P%20-%201)%20%2F%202.0)%20%2F%20(P%20%2F%205.0))%20**%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reference%20%3D%20_env%20*%20np.sin(2.0%20*%20np.pi%20*%204.0%20*%20n_axis%20%2F%20P)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f0%2C%20_f1%20%3D%200.04%2C%200.30%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phase%20%3D%202.0%20*%20np.pi%20*%20(_f0%20*%20n_axis%20%2B%20(_f1%20-%20_f0)%20%2F%20(2.0%20*%20P)%20*%20n_axis**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reference%20%3D%20np.sin(_phase)%0A%0A%20%20%20%20pulse_energy%20%3D%20float(np.sum(reference**2))%0A%20%20%20%20matched_filter%20%3D%20reference%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20return%20P%2C%20matched_filter%2C%20pulse_energy%2C%20reference%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(P%2C%20matched_filter%2C%20noise_seed%2C%20noise_std%2C%20np%2C%20reference)%3A%0A%20%20%20%20record_length%20%3D%20200%0A%20%20%20%20pulse_start%20%3D%2070%0A%20%20%20%20peak_index%20%3D%20pulse_start%20%2B%20P%20-%201%0A%0A%20%20%20%20clean_record%20%3D%20np.zeros(record_length)%0A%20%20%20%20clean_record%5Bpulse_start%20%3A%20pulse_start%20%2B%20P%5D%20%3D%20reference%0A%0A%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(noise_seed.value)%0A%20%20%20%20observation%20%3D%20clean_record%20%2B%20noise_std.value%20*%20rng.standard_normal(record_length)%0A%0A%20%20%20%20filter_output%20%3D%20np.convolve(observation%2C%20matched_filter%2C%20mode%3D%22full%22)%0A%20%20%20%20output_index%20%3D%20np.arange(filter_output.size)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clean_record%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20filter_output%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20observation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20output_index%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20peak_index%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_start%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(P%2C%20matched_filter%2C%20np%2C%20plt%2C%20pulse_type%2C%20reference)%3A%0A%20%20%20%20fig_filter%2C%20(ax_ref%2C%20ax_mf)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13%2C%203.4))%0A%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20np.arange(P)%0A%20%20%20%20ax_ref.stem(_k%2C%20reference%2C%20linefmt%3D%22steelblue%22%2C%20markerfmt%3D%22o%22%2C%20basefmt%3D%22grey%22)%0A%20%20%20%20ax_ref.set_title(f%22Reference%20u%5Bk%5D%20%20(%7Bpulse_type.value%7D)%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_ref.set_xlabel(%22k%22)%0A%20%20%20%20ax_ref.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20ax_mf.stem(_k%2C%20matched_filter%2C%20linefmt%3D%22crimson%22%2C%20markerfmt%3D%22o%22%2C%20basefmt%3D%22grey%22)%0A%20%20%20%20ax_mf.set_title(r%22Matched%20filter%20%20%24h%5Bk%5D%3Du%5BP%7B-%7D1%7B-%7Dk%5D%24%20%20(time-reversed)%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_mf.set_xlabel(%22k%22)%0A%20%20%20%20ax_mf.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20return%20(fig_filter%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20fig_filter%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20noise_seed%2C%0A%20%20%20%20noise_std%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pulse_energy%2C%0A%20%20%20%20pulse_length%2C%0A%20%20%20%20pulse_type%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_snr_gain%20%3D%20pulse_energy%20%2F%20noise_std.value**2%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23%23%201%20%26nbsp%3B%20The%20filter%20*is*%20the%20reversed%20signal%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20matched%20filter%20is%20simply%20the%20reference%20flipped%20in%20time.%20Convolving%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22observation%20with%20it%20correlates%20every%20shift%20against%20the%20template%20%E2%80%94%20the%20output%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22is%20the%20signal%20autocorrelation%2C%20sharpest%20at%20the%20true%20alignment.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bpulse_type%2C%20pulse_length%2C%20noise_std%2C%20noise_seed%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_filter)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**Pulse%20energy**%20%24E_b%20%3D%20%5C%5Csum_k%20u%5E2%5Bk%5D%20%3D%20%7Bpulse_energy%3A.1f%7D%24%20%26nbsp%3B%C2%B7%26nbsp%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**noise%20power**%20%24R_0%20%3D%20%7Bnoise_std.value**2%3A.2f%7D%24%20%26nbsp%3B%C2%B7%26nbsp%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**output%20SNR%20gain**%20%24E_b%2FR_0%20%3D%20%7B_snr_gain%3A.1f%7D%24%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24%5C%5C%3B(%3D%20%7B10.0%20*%20np.log10(_snr_gain)%3A.1f%7D%24%20dB).%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20clean_record%2C%0A%20%20%20%20filter_output%2C%0A%20%20%20%20noise_std%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20observation%2C%0A%20%20%20%20output_index%2C%0A%20%20%20%20peak_index%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20pulse_energy%2C%0A%20%20%20%20pulse_start%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20fig_out%2C%20(ax_obs%2C%20ax_z)%20%3D%20plt.subplots(2%2C%201%2C%20figsize%3D(13%2C%206)%2C%20sharex%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.arange(observation.size)%0A%20%20%20%20ax_obs.plot(_t%2C%20observation%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20label%3D%22observation%20X%5Bk%5D%20%3D%20u%20%2B%20N%22)%0A%20%20%20%20ax_obs.plot(_t%2C%20clean_record%2C%20color%3D%22steelblue%22%2C%20linewidth%3D2.0%2C%20label%3D%22hidden%20signal%20u%5Bk%5D%22)%0A%20%20%20%20ax_obs.axvspan(pulse_start%2C%20peak_index%2C%20color%3D%22steelblue%22%2C%20alpha%3D0.08)%0A%20%20%20%20ax_obs.set_title(%22Observation%3A%20the%20pulse%20is%20buried%20in%20noise%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_obs.set_xlabel(%22k%22)%0A%20%20%20%20ax_obs.legend(loc%3D%22upper%20right%22%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20ax_obs.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20sigma_out%20%3D%20noise_std.value%20*%20np.sqrt(pulse_energy)%0A%20%20%20%20ax_z.plot(output_index%2C%20filter_output%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22matched-filter%20output%20%20%24%5Cwidehat%7BY%7D%5Bk%5D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_z.axhline(sigma_out%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20ax_z.axhline(-sigma_out%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%C2%B11%20output-noise%20std%22)%0A%20%20%20%20ax_z.axvline(peak_index%2C%20color%3D%22darkgreen%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.2)%0A%20%20%20%20ax_z.plot(%5Bpeak_index%5D%2C%20%5Bfilter_output%5Bpeak_index%5D%5D%2C%20%22o%22%2C%20color%3D%22darkgreen%22%2C%20markersize%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22peak%20at%20k0%3D%7Bpeak_index%7D%22)%0A%20%20%20%20ax_z.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22peak%20%2F%20noise-std%20%3D%20%7Bfilter_output%5Bpeak_index%5D%20%2F%20sigma_out%3A.1f%7D%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22theory%20%24%5Csqrt%7B%7BE_b%2FR_0%7D%7D%24%20%3D%20%7Bnp.sqrt(pulse_energy)%20%2F%20noise_std.value%3A.1f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(peak_index%2C%20filter_output%5Bpeak_index%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(peak_index%20%2B%2012%2C%20filter_output%5Bpeak_index%5D%20*%200.7)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22-%3E%22%2C%20color%3D%22darkgreen%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_z.set_title(%22Matched-filter%20output%20spikes%20at%20the%20detection%20instant%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_z.set_xlabel(%22k%22)%0A%20%20%20%20ax_z.legend(loc%3D%22upper%20right%22%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20ax_z.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20return%20(fig_out%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fig_out%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23%23%202%20%26nbsp%3B%20A%20peak%20you%20can%20threshold%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20eye%20cannot%20find%20the%20pulse%20in%20the%20top%20trace.%20The%20matched-filter%20output%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22(bottom)%20concentrates%20the%20signal's%20energy%20into%20a%20single%20spike%20at%20%24k_0%24%2C%20well%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22above%20the%20noise%20floor.%20The%20peak%20height%20relative%20to%20the%20output-noise%20std%20equals%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22the%20amplitude%20SNR%20%24%5Csqrt%7BE_b%2FR_0%7D%24%20%E2%80%94%20independent%20of%20the%20pulse%20*shape*%2C%20set%20only%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22by%20its%20*energy*.%20Lower%20the%20noise%20std%20or%20lengthen%20the%20pulse%20and%20the%20spike%20climbs.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_out)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(erfc%2C%20noise_std%2C%20np%2C%20pulse_energy)%3A%0A%20%20%20%20n_trials%20%3D%206000%0A%20%20%20%20energy_b%20%3D%20pulse_energy%0A%20%20%20%20r0%20%3D%20noise_std.value**2%0A%20%20%20%20sigma_T%20%3D%20np.sqrt(r0%20*%20energy_b)%0A%0A%20%20%20%20rng_det%20%3D%20np.random.default_rng(2024)%0A%20%20%20%20_noise_proj%20%3D%20rng_det.normal(0.0%2C%20sigma_T%2C%20size%3Dn_trials)%0A%20%20%20%20stat_absent%20%3D%20_noise_proj%0A%20%20%20%20stat_present%20%3D%20energy_b%20%2B%20rng_det.normal(0.0%2C%20sigma_T%2C%20size%3Dn_trials)%0A%0A%20%20%20%20def%20q_func(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.5%20*%20erfc(x%20%2F%20np.sqrt(2.0))%0A%0A%20%20%20%20gamma_axis%20%3D%20np.linspace(-3.0%20*%20sigma_T%2C%20energy_b%20%2B%203.0%20*%20sigma_T%2C%20400)%0A%20%20%20%20pfa_curve%20%3D%20q_func(gamma_axis%20%2F%20sigma_T)%0A%20%20%20%20pd_curve%20%3D%20q_func((gamma_axis%20-%20energy_b)%20%2F%20sigma_T)%0A%20%20%20%20deflection%20%3D%20energy_b%20%2F%20sigma_T%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20deflection%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energy_b%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pd_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pfa_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q_func%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_T%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stat_absent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stat_present%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(energy_b%2C%20mo%2C%20sigma_T)%3A%0A%20%20%20%20threshold_frac%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-0.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.02%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Decision%20threshold%20gamma%20(as%20fraction%20of%20E_b)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_hint%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Operating%20point%20slides%20along%20the%20ROC.%20%26nbsp%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24E_b%3D%7Benergy_b%3A.1f%7D%24%2C%20%26nbsp%3B%20statistic%20std%20%24%5C%5Csigma_T%3D%7Bsigma_T%3A.1f%7D%24.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bthreshold_frac%2C%20_hint%5D)%0A%20%20%20%20return%20(threshold_frac%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20deflection%2C%0A%20%20%20%20energy_b%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pd_curve%2C%0A%20%20%20%20pfa_curve%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q_func%2C%0A%20%20%20%20sigma_T%2C%0A%20%20%20%20stat_absent%2C%0A%20%20%20%20stat_present%2C%0A%20%20%20%20threshold_frac%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20gamma%20%3D%20threshold_frac.value%20*%20energy_b%0A%20%20%20%20pfa_now%20%3D%20float(q_func(gamma%20%2F%20sigma_T))%0A%20%20%20%20pd_now%20%3D%20float(q_func((gamma%20-%20energy_b)%20%2F%20sigma_T))%0A%0A%20%20%20%20fig_det%2C%20(ax_hist%2C%20ax_roc)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13%2C%204.6))%0A%0A%20%20%20%20_bins%20%3D%20np.linspace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20min(stat_absent.min()%2C%20stat_present.min())%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max(stat_absent.max()%2C%20stat_present.max())%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%2060%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_hist.hist(stat_absent%2C%20bins%3D_bins%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%20density%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22H0%3A%20absent%22)%0A%20%20%20%20ax_hist.hist(stat_present%2C%20bins%3D_bins%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20alpha%3D0.5%2C%20density%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22H1%3A%20present%22)%0A%20%20%20%20ax_hist.axvline(gamma%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linewidth%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22threshold%20gamma%3D%7Bgamma%3A.1f%7D%22)%0A%20%20%20%20ax_hist.set_title(rf%22Decision%20statistic%20%24T%3D%5Clangle%20X%2Cu%5Crangle%24%20%20%20(d'%20%3D%20%7Bdeflection%3A.2f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_hist.set_xlabel(%22T%22)%0A%20%20%20%20ax_hist.set_ylabel(%22density%22)%0A%20%20%20%20ax_hist.legend(fontsize%3D9%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20ax_hist.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20ax_roc.plot(pfa_curve%2C%20pd_curve%2C%20color%3D%22navy%22%2C%20linewidth%3D2.2)%0A%20%20%20%20ax_roc.plot(%5B0%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%201%5D%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.0)%0A%20%20%20%20ax_roc.plot(%5Bpfa_now%5D%2C%20%5Bpd_now%5D%2C%20%22o%22%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20markersize%3D11)%0A%20%20%20%20ax_roc.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22P_FA%20%3D%20%7Bpfa_now%3A.3f%7D%5CnP_D%20%3D%20%7Bpd_now%3A.3f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(pfa_now%2C%20pd_now)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.45%2C%200.25)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22-%3E%22%2C%20color%3D%22crimson%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_roc.set_title(%22ROC%20%E2%80%94%20more%20energy%20bows%20the%20curve%20toward%20the%20corner%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_roc.set_xlabel(%22false-alarm%20probability%20%20P_FA%22)%0A%20%20%20%20ax_roc.set_ylabel(%22detection%20probability%20%20P_D%22)%0A%20%20%20%20ax_roc.set_xlim(-0.02%2C%201.02)%0A%20%20%20%20ax_roc.set_ylim(-0.02%2C%201.02)%0A%20%20%20%20ax_roc.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20return%20fig_det%2C%20pd_now%2C%20pfa_now%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(deflection%2C%20fig_det%2C%20mo%2C%20pd_now%2C%20pfa_now)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23%23%203%20%26nbsp%3B%20Detection%3A%20present%20vs.%20absent%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22Sampling%20the%20output%20at%20%24k_0%24%20gives%20the%20sufficient%20statistic%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24T%3D%5Clangle%20X%2Cu%5Crangle%24.%20Under%20Gaussian%20noise%20this%20is%20exactly%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Neyman%E2%80%93Pearson%20likelihood-ratio%20test%3A%20decide%20*present*%20when%20%24T%3E%5C%5Cgamma%24.%20The%20two%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22hypotheses%20are%20Gaussians%20separated%20by%20the%20**deflection**%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24d'%3D%5Csqrt%7BE_b%2FR_0%7D%3D%5Csqrt%7B%5CGamma-1%7D%24%20%E2%80%94%20the%20same%20matched-filter%20SNR%20gain.%20Sweeping%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22the%20threshold%20traces%20the%20ROC%3B%20raising%20the%20SNR%20pushes%20the%20curve%20toward%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22top-left%20corner.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**At%20the%20current%20threshold%3A**%20false-alarm%20%24P_%7B%7BFA%7D%7D%3D%7Bpfa_now%3A.3f%7D%24%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22detection%20%24P_D%3D%7Bpd_now%3A.3f%7D%24%2C%20deflection%20%24d'%3D%7Bdeflection%3A.2f%7D%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_det)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Key%20takeaways%0A%0A%20%20%20%201.%20**Different%20criterion%2C%20different%20filter.**%20The%20Wiener%20filter%20minimizes%20MSE%20to%20*reconstruct*%0A%20%20%20%20%20%20%20a%20signal%3B%20the%20matched%20filter%20maximizes%20output%20SNR%20to%20*detect*%20a%20known%20one.%20Same%20linear%0A%20%20%20%20%20%20%20machinery%2C%20opposite%20question.%0A%0A%20%20%20%202.%20**The%20matched%20filter%20is%20the%20time-reversed%20reference**%2C%20%24h_%5Cstar%5Bk%5D%5Cpropto%20u%5B-k%5D%24.%20Its%0A%20%20%20%20%20%20%20output%20is%20the%20signal%20autocorrelation%20%24R_%7Buu%7D%5Bk-k_0%5D%24%20%E2%80%94%20energy%20collected%20into%20one%20spike%20at%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20detection%20instant.%0A%0A%20%20%20%203.%20**Only%20energy%20matters%20for%20detectability.**%20The%20peak%20SNR%20is%20%24%5CGamma%20%3D%201%2BE_b%2FR_0%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20independent%20of%20pulse%20shape.%20Shape%20governs%20*timing%20resolution*%20(a%20chirp%20gives%20a%20far%20sharper%0A%20%20%20%20%20%20%20peak%20than%20a%20rectangle%20of%20equal%20energy)%2C%20not%20how%20far%20the%20spike%20clears%20the%20noise.%0A%0A%20%20%20%204.%20**Detection%20%3D%20hypothesis%20testing.**%20The%20sampled%20output%20%24T%3D%5Clangle%20X%2Cu%5Crangle%24%20is%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20Neyman%E2%80%93Pearson%20sufficient%20statistic%3B%20the%20two%20hypotheses%20are%20Gaussians%20separated%20by%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20deflection%20%24d'%3D%5Csqrt%7BE_b%2FR_0%7D%24%2C%20and%20the%20threshold%20sweep%20is%20the%20ROC%20%E2%80%94%20the%20bridge%20from%0A%20%20%20%20%20%20%20optimal%20filtering%20back%20to%20detection%20theory.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A