material mean test np interactive

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%20%22scipy%3D%3D1.17.1%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.13%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy.stats%20import%20nct%2C%20norm%2C%20t%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22default%22)%0A%0A%20%20%20%20C_Z%20%3D%20%22%232563eb%22%0A%20%20%20%20C_T%20%3D%20%22%23dc2626%22%0A%20%20%20%20C_OBS%20%3D%20%22%23111827%22%0A%20%20%20%20C_ACCEPT%20%3D%20%22%2316a34a%22%0A%20%20%20%20C_REJECT%20%3D%20%22%23f97316%22%0A%20%20%20%20return%20C_ACCEPT%2C%20C_OBS%2C%20C_REJECT%2C%20C_T%2C%20C_Z%2C%20mo%2C%20nct%2C%20norm%2C%20np%2C%20plt%2C%20t%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Mean%20Tests%20with%20Known%20and%20Unknown%20Variance%3A%20Gold%20Density%20Screening%0A%0A%20%20%20%20A%20lab%20repeatedly%20measures%20the%20density%20of%20a%20metal%20bar.%20Pure%20gold%20has%20density%0A%20%20%20%20close%20to%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20m_%7BX%2C0%7D%3D19.30%5C%20%5Cmathrm%7Bg%2Fcm%5E3%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20question%20is%20a%20two-sided%20hypothesis%20test%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20H_0%3Am_X%3Dm_%7BX%2C0%7D%0A%20%20%20%20%5Cqquad%5Ctext%7Bvs.%7D%5Cqquad%0A%20%20%20%20H_1%3Am_X%5Cne%20m_%7BX%2C0%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20observation%20model%20is%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20X_i%5Csim%5Cmathcal%7BN%7D(m_X%2C%5Csigma_X%5E2)%2C%5Cqquad%20i%3D1%2C%5Cdots%2CN%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20and%20the%20test%20statistic%20is%20based%20on%20the%20sample%20mean%0A%20%20%20%20%24%5Cwidehat%20M_X%3DN%5E%7B-1%7D%5Csum_i%20X_i%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cfigure%20style%3D%22margin%3A0%20auto%201rem%20auto%3Bmax-width%3A720px%3Btext-align%3Acenter%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22images%2Fgreaves_gold_weigher_public_domain.jpg%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt%3D%22Antique%20gold%20coin%20weigher%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20style%3D%22width%3A100%25%3Bmax-height%3A320px%3Bobject-fit%3Acover%3Bborder-radius%3A8px%3Bborder%3A1px%20solid%20%23ddd%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cfigcaption%20style%3D%22margin-top%3A6px%3Bfont-size%3A0.82em%3Bcolor%3A%23666%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Antique%20gold%20coin%20weigher%20for%20checking%20sovereigns%20and%20half%20sovereigns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Fcommons.wikimedia.org%2Fwiki%2FFile%3AGreavesGoldWeigher.JPG%22%3EWikimedia%20Commons%3C%2Fa%3E%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20public%20domain.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Ffigcaption%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20story%20is%20intentionally%20a%20**screening**%20example%3A%20density%20is%20useful%20for%0A%20%20%20%20explaining%20the%20hypothesis%20test%2C%20but%20it%20is%20not%20a%20complete%20authenticity%20test.%0A%20%20%20%20Tungsten%20has%20density%20very%20close%20to%20gold%2C%20so%20a%20real%20assay%20would%20combine%0A%20%20%20%20density%20with%20additional%20measurements.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Known%20variance%3A%20z-test%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20measurement%20variance%20%24%5Csigma_X%5E2%24%20is%20known%20from%20calibration%2C%20the%0A%20%20%20%20normalized%20statistic%20is%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20Q_Z%3D%5Cfrac%7B%5Cwidehat%20M_X-m_%7BX%2C0%7D%7D%7B%5Csigma_X%2F%5Csqrt%7BN%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20Under%20%24H_0%24%2C%20%24Q_Z%5Csim%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C1)%24%2C%20so%20the%20two-sided%20NP%20test%20with%0A%20%20%20%20false-alarm%20probability%20%24%5Calpha%24%20rejects%20%24H_0%24%20if%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%7CQ_Z%7C%3Ez_%7B1-%5Calpha%2F2%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%20the%20z-test%20is%20correctly%20calibrated%3A%20the%20same%20known%0A%20%20%20%20measurement%20standard%20deviation%20%24%5Csigma_X%24%20generates%20the%20measurements%20and%0A%20%20%20%20defines%20the%20null%20distribution%20used%20by%20the%20test.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20m0_gold%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D18.80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D19.60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D19.30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22nominal%20density%20m_X%2C0%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20true_mean_gold%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D18.70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D19.70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D19.18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22true%20density%20m_X%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sigma_gold%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.02%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.08%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22known%20measurement%20std%20sigma_X%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20n_gold_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D3%2C%20stop%3D80%2C%20step%3D1%2C%20value%3D12%2C%20label%3D%22sample%20size%20N%22)%0A%20%20%20%20alpha_gold%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.005%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.005%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22significance%20alpha%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20seed_gold%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D999%2C%20step%3D1%2C%20value%3D31%2C%20label%3D%22random%20seed%22)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha_gold%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m0_gold%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_gold_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed_gold%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_gold%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20true_mean_gold%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alpha_gold%2C%0A%20%20%20%20m0_gold%2C%0A%20%20%20%20n_gold_slider%2C%0A%20%20%20%20norm%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20seed_gold%2C%0A%20%20%20%20sigma_gold%2C%0A%20%20%20%20t%2C%0A%20%20%20%20true_mean_gold%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20alpha_m%20%3D%20float(alpha_gold.value)%0A%20%20%20%20m0_m%20%3D%20float(m0_gold.value)%0A%20%20%20%20m_true_m%20%3D%20float(true_mean_gold.value)%0A%20%20%20%20sigma_m%20%3D%20float(sigma_gold.value)%0A%20%20%20%20n_m%20%3D%20int(n_gold_slider.value)%0A%20%20%20%20df_m%20%3D%20n_m%20-%201%0A%0A%20%20%20%20rng_gold%20%3D%20np.random.default_rng(int(seed_gold.value))%0A%20%20%20%20sample_gold%20%3D%20rng_gold.normal(loc%3Dm_true_m%2C%20scale%3Dsigma_m%2C%20size%3Dn_m)%0A%20%20%20%20xbar_gold%20%3D%20float(sample_gold.mean())%0A%20%20%20%20s_gold%20%3D%20float(sample_gold.std(ddof%3D1))%0A%0A%20%20%20%20z_stat%20%3D%20(xbar_gold%20-%20m0_m)%20%2F%20(sigma_m%20%2F%20np.sqrt(n_m))%0A%20%20%20%20z_crit%20%3D%20float(norm.ppf(1.0%20-%20alpha_m%20%2F%202.0))%0A%20%20%20%20z_reject%20%3D%20bool(abs(z_stat)%20%3E%20z_crit)%0A%20%20%20%20z_ci_half%20%3D%20z_crit%20*%20sigma_m%20%2F%20np.sqrt(n_m)%0A%0A%20%20%20%20t_stat%20%3D%20(xbar_gold%20-%20m0_m)%20%2F%20(s_gold%20%2F%20np.sqrt(n_m))%0A%20%20%20%20t_crit%20%3D%20float(t.ppf(1.0%20-%20alpha_m%20%2F%202.0%2C%20df%3Ddf_m))%0A%20%20%20%20t_reject%20%3D%20bool(abs(t_stat)%20%3E%20t_crit)%0A%20%20%20%20t_ci_half%20%3D%20t_crit%20*%20s_gold%20%2F%20np.sqrt(n_m)%0A%0A%20%20%20%20x_density%20%3D%20np.linspace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20min(m0_m%2C%20m_true_m)%20-%204.5%20*%20sigma_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max(m0_m%2C%20m_true_m)%20%2B%204.5%20*%20sigma_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20800%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mean_grid%20%3D%20np.linspace(m0_m%20-%200.45%2C%20m0_m%20%2B%200.45%2C%20500)%0A%20%20%20%20sample_mean_h0_pdf%20%3D%20norm.pdf(mean_grid%2C%20loc%3Dm0_m%2C%20scale%3Dsigma_m%20%2F%20np.sqrt(n_m))%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20df_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m0_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m_true_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mean_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s_gold%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sample_gold%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sample_mean_h0_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_ci_half%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_crit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_reject%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_stat%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xbar_gold%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_ci_half%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_crit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_reject%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_stat%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_ACCEPT%2C%0A%20%20%20%20C_OBS%2C%0A%20%20%20%20C_REJECT%2C%0A%20%20%20%20C_Z%2C%0A%20%20%20%20alpha_gold%2C%0A%20%20%20%20m0_gold%2C%0A%20%20%20%20m0_m%2C%0A%20%20%20%20mean_grid%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_gold_slider%2C%0A%20%20%20%20n_m%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20sample_gold%2C%0A%20%20%20%20sample_mean_h0_pdf%2C%0A%20%20%20%20seed_gold%2C%0A%20%20%20%20sigma_gold%2C%0A%20%20%20%20sigma_m%2C%0A%20%20%20%20true_mean_gold%2C%0A%20%20%20%20xbar_gold%2C%0A%20%20%20%20z_crit%2C%0A%20%20%20%20z_reject%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_left%20%3D%20m0_m%20-%20z_crit%20*%20sigma_m%20%2F%20np.sqrt(n_m)%0A%20%20%20%20_right%20%3D%20m0_m%20%2B%20z_crit%20*%20sigma_m%20%2F%20np.sqrt(n_m)%0A%20%20%20%20fig_z_mean%2C%20ax_z_mean%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9.0%2C%204.8))%0A%20%20%20%20ax_z_mean.plot(mean_grid%2C%20sample_mean_h0_pdf%2C%20color%3DC_Z%2C%20lw%3D2.8%2C%20label%3Dr%22%24%5Cwidehat%20M_X%5Cmid%20H_0%24%22)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mean_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sample_mean_h0_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D(mean_grid%20%3C%20_left)%20%7C%20(mean_grid%20%3E%20_right)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_REJECT%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22rejection%20region%2C%20%24%5Calpha%3D%7Bfloat(alpha_gold.value)%3A.3f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mean_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sample_mean_h0_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D(mean_grid%20%3E%3D%20_left)%20%26%20(mean_grid%20%3C%3D%20_right)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_ACCEPT%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22fail-to-reject%20region%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.axvline(m0_m%2C%20color%3DC_Z%2C%20lw%3D1.8%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20label%3Drf%22%24m_%7B%7BX%2C0%7D%7D%3D%7Bm0_m%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.axvline(xbar_gold%2C%20color%3DC_OBS%2C%20lw%3D2.6%2C%20label%3Drf%22observed%20%24%5Cwidehat%20m_X%3D%7Bxbar_gold%3A.3f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.scatter(sample_gold%2C%20np.zeros_like(sample_gold)%2C%20color%3D%22%2364748b%22%2C%20s%3D34%2C%20alpha%3D0.80%2C%20label%3D%22measurements%22)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.set_title(%22Known%20variance%3A%20sampling%20distribution%20of%20the%20sample%20mean%20under%20H0%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.set_xlabel(r%22density%20estimate%20%24%5Cwidehat%20m_X%24%20%5Bg%2Fcm%24%5E3%24%5D%22)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.set_ylabel(%22density%22)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.grid(alpha%3D0.28)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.legend(loc%3D%22upper%20left%22%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20ax_z_mean.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20fig_z_mean.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_decision%20%3D%20%22reject%20H0%22%20if%20z_reject%20else%20%22fail%20to%20reject%20H0%22%0A%20%20%20%20_note%20%3D%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20z-test%20decision%3A%20**%7B_decision%7D**.%0A%20%20%20%20The%20accepted%20interval%20for%20%24%5Cwidehat%20m_X%24%20under%20%24H_0%24%20is%0A%20%20%20%20%24%5B%7B_left%3A.3f%7D%2C%20%7B_right%3A.3f%7D%5D%24%20g%2Fcm%24%5E3%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bm0_gold%2C%20true_mean_gold%2C%20sigma_gold%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_gold_slider%2C%20alpha_gold%2C%20seed_gold%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_z_mean)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_note)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Unknown%20variance%3A%20t-test%0A%0A%20%20%20%20If%20%24%5Csigma_X%5E2%24%20is%20not%20known%2C%20estimate%20it%20from%20the%20same%20observations%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cwidehat%5CSigma_X%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN-1%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN(X_i-%5Cwidehat%20M_X)%5E2.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20statistic%20becomes%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20Q_T%3D%5Cfrac%7B%5Cwidehat%20M_X-m_%7BX%2C0%7D%7D%7B%5Cwidehat%5CSigma_X%2F%5Csqrt%7BN%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20Gaussian%20observations%20under%20%24H_0%24%2C%0A%20%20%20%20%24Q_T%24%20follows%20a%20Student-%24t%24%20distribution%20with%20%24N-1%24%20degrees%20of%20freedom.%0A%20%20%20%20The%20heavier%20tails%20enlarge%20the%20critical%20value%20for%20small%20%24N%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(C_OBS%2C%20C_T%2C%20C_Z%2C%20df_m%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20t%2C%20t_crit%2C%20t_stat%2C%20z_crit%2C%20z_stat)%3A%0A%20%20%20%20q_grid%20%3D%20np.linspace(-5.5%2C%205.5%2C%20900)%0A%20%20%20%20z_pdf%20%3D%20np.exp(-0.5%20*%20q_grid**2)%20%2F%20np.sqrt(2%20*%20np.pi)%0A%20%20%20%20t_pdf%20%3D%20t.pdf(q_grid%2C%20df%3Ddf_m)%0A%0A%20%20%20%20fig_stat_compare%2C%20ax_stat_compare%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9.0%2C%204.8))%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.plot(q_grid%2C%20z_pdf%2C%20color%3DC_Z%2C%20lw%3D2.4%2C%20label%3Dr%22%24%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C1)%24%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.plot(q_grid%2C%20t_pdf%2C%20color%3DC_T%2C%20lw%3D2.4%2C%20label%3Drf%22Student-%24t%24%2C%20%24N-1%3D%7Bdf_m%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D(np.abs(q_grid)%20%3E%20z_crit)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_Z%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22z%20rejection%20tails%3A%20%24%5Cpm%20%7Bz_crit%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D(np.abs(q_grid)%20%3E%20t_crit)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_T%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22t%20rejection%20tails%3A%20%24%5Cpm%20%7Bt_crit%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.axvline(-z_crit%2C%20color%3DC_Z%2C%20lw%3D1.5%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.axvline(z_crit%2C%20color%3DC_Z%2C%20lw%3D1.5%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.axvline(-t_crit%2C%20color%3DC_T%2C%20lw%3D1.5%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.axvline(t_crit%2C%20color%3DC_T%2C%20lw%3D1.5%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.axvline(t_stat%2C%20color%3DC_OBS%2C%20lw%3D2.6%2C%20label%3Drf%22observed%20%24Q_T%3D%7Bt_stat%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.axvline(z_stat%2C%20color%3D%22%2364748b%22%2C%20lw%3D1.8%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3Drf%22observed%20%24Q_Z%3D%7Bz_stat%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.set_title(%22Known%20vs%20unknown%20variance%3A%20null%20distribution%20of%20the%20test%20statistic%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.set_xlabel(%22standardized%20statistic%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.set_ylabel(%22density%22)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.grid(alpha%3D0.28)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.legend(loc%3D%22upper%20left%22%2C%20fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20ax_stat_compare.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20fig_stat_compare.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_stat_compare)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20alpha_m%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_m%2C%0A%20%20%20%20s_gold%2C%0A%20%20%20%20t_ci_half%2C%0A%20%20%20%20t_crit%2C%0A%20%20%20%20t_reject%2C%0A%20%20%20%20t_stat%2C%0A%20%20%20%20xbar_gold%2C%0A%20%20%20%20z_ci_half%2C%0A%20%20%20%20z_crit%2C%0A%20%20%20%20z_reject%2C%0A%20%20%20%20z_stat%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_z_decision%20%3D%20%22reject%20H0%22%20if%20z_reject%20else%20%22fail%20to%20reject%20H0%22%0A%20%20%20%20_t_decision%20%3D%20%22reject%20H0%22%20if%20t_reject%20else%20%22fail%20to%20reject%20H0%22%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Same%20sample%2C%20two%20variance%20assumptions%0A%0A%20%20%20%20Sample%20size%3A%20%24N%3D%7Bn_m%7D%24.%0A%20%20%20%20Observed%20mean%3A%20%24%5Cwidehat%20m_X%3D%7Bxbar_gold%3A.4f%7D%24%20g%2Fcm%24%5E3%24.%0A%20%20%20%20Observed%20sample%20standard%20deviation%3A%20%24%5Cwidehat%5Csigma_X%3D%7Bs_gold%3A.4f%7D%24%20g%2Fcm%24%5E3%24.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20test%20%7C%20statistic%20%7C%20critical%20value%20%7C%20confidence%20interval%20for%20%24m_X%24%20%7C%20decision%20at%20%24%5Calpha%3D%7Balpha_m%3A.3f%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%3A%7C---%3A%7C---%3A%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20known%20variance%20z-test%20%7C%20%24Q_Z%3D%7Bz_stat%3A.3f%7D%24%20%7C%20%24z_%7B%7B1-%5Calpha%2F2%7D%7D%3D%7Bz_crit%3A.3f%7D%24%20%7C%20%24%5B%7Bxbar_gold-z_ci_half%3A.4f%7D%2C%20%7Bxbar_gold%2Bz_ci_half%3A.4f%7D%5D%24%20%7C%20%7B_z_decision%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20unknown%20variance%20t-test%20%7C%20%24Q_T%3D%7Bt_stat%3A.3f%7D%24%20%7C%20%24t_%7B%7B1-%5Calpha%2F2%7D%7D(N-1)%3D%7Bt_crit%3A.3f%7D%24%20%7C%20%24%5B%7Bxbar_gold-t_ci_half%3A.4f%7D%2C%20%7Bxbar_gold%2Bt_ci_half%3A.4f%7D%5D%24%20%7C%20%7B_t_decision%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20t-test%20usually%20needs%20stronger%20evidence%20for%20small%20samples%20because%20the%0A%20%20%20%20variance%20estimate%20%24%5Cwidehat%5CSigma_X%24%20is%20itself%20random.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Power%20under%20alternatives%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20fixed%20significance%20level%20%24%5Calpha%24%2C%20the%20power%20is%20the%20detection%0A%20%20%20%20probability%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20P_D(m_X)%3D%5Cmathbb%7BP%7D(%5Ctext%7Breject%20%7DH_0%5Cmid%20m_X).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20It%20increases%20as%20the%20true%20density%20moves%20away%20from%20the%20nominal%20density%20and%20as%0A%20%20%20%20%24N%24%20grows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_OBS%2C%0A%20%20%20%20C_T%2C%0A%20%20%20%20C_Z%2C%0A%20%20%20%20df_m%2C%0A%20%20%20%20m0_m%2C%0A%20%20%20%20m_true_m%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_m%2C%0A%20%20%20%20nct%2C%0A%20%20%20%20norm%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20sigma_m%2C%0A%20%20%20%20t_crit%2C%0A%20%20%20%20z_crit%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mean_alt_grid%20%3D%20np.linspace(m0_m%20-%200.45%2C%20m0_m%20%2B%200.45%2C%20500)%0A%20%20%20%20z_nc%20%3D%20(mean_alt_grid%20-%20m0_m)%20%2F%20(sigma_m%20%2F%20np.sqrt(n_m))%0A%20%20%20%20z_power%20%3D%20norm.cdf(-z_crit%2C%20loc%3Dz_nc%2C%20scale%3D1.0)%20%2B%20norm.sf(z_crit%2C%20loc%3Dz_nc%2C%20scale%3D1.0)%0A%0A%20%20%20%20t_nc%20%3D%20(mean_alt_grid%20-%20m0_m)%20%2F%20(sigma_m%20%2F%20np.sqrt(n_m))%0A%20%20%20%20t_power%20%3D%20nct.cdf(-t_crit%2C%20df%3Ddf_m%2C%20nc%3Dt_nc)%20%2B%20nct.sf(t_crit%2C%20df%3Ddf_m%2C%20nc%3Dt_nc)%0A%0A%20%20%20%20fig_power_gold%2C%20ax_power_gold%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9.0%2C%204.8))%0A%20%20%20%20ax_power_gold.plot(mean_alt_grid%2C%20z_power%2C%20color%3DC_Z%2C%20lw%3D2.6%2C%20label%3D%22known%20variance%20z-test%22)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.plot(mean_alt_grid%2C%20t_power%2C%20color%3DC_T%2C%20lw%3D2.6%2C%20label%3D%22unknown%20variance%20t-test%22)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.axvline(m0_m%2C%20color%3D%22%2364748b%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20label%3Drf%22%24m_%7B%7BX%2C0%7D%7D%3D%7Bm0_m%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.axvline(m_true_m%2C%20color%3DC_OBS%2C%20lw%3D2.2%2C%20label%3Drf%22current%20%24m_X%3D%7Bm_true_m%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.set_title(%22Power%20curve%3A%20probability%20of%20detecting%20a%20shifted%20mean%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.set_xlabel(r%22true%20mean%20density%20%24m_X%24%20%5Bg%2Fcm%24%5E3%24%5D%22)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.set_ylabel(r%22detection%20probability%20%24P_D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.set_ylim(0%2C%201.02)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.grid(alpha%3D0.28)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.legend(loc%3D%22lower%20left%22%2C%20fontsize%3D9%2C%20ncol%3D1)%0A%20%20%20%20ax_power_gold.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20fig_power_gold.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_power_gold)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Takeaways%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20z-test%20uses%20the%20known%20calibrated%20standard%20deviation%20%24%5Csigma_X%24.%0A%20%20%20%202.%20The%20t-test%20uses%20the%20random%20sample%20standard%20deviation%20%24%5Cwidehat%5CSigma_X%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20so%20its%20null%20distribution%20has%20heavier%20tails.%0A%20%20%20%203.%20Both%20are%20Neyman--Pearson%20style%20tests%20in%20the%20sense%20that%20the%20threshold%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20selected%20to%20enforce%20a%20prescribed%20false-alarm%20probability%20%24%5Calpha%24%20under%0A%20%20%20%20%20%20%20%24H_0%24.%0A%20%20%20%204.%20Larger%20%24N%24%20narrows%20the%20sampling%20distribution%20of%20%24%5Cwidehat%20M_X%24%20and%20raises%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20power%20against%20small%20mean%20shifts.%0A%0A%20%20%20%20Source%20context%3A%20the%20gold-density%20numbers%20and%20the%20caveat%20about%20tungsten%20are%0A%20%20%20%20motivated%20by%20the%20Wikipedia%20article%20on%20%5Bgold%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FGold).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A