earth land prior posterior interactive

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20import%20urllib.parse%0A%20%20%20%20import%20urllib.request%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22default%22)%0A%0A%20%20%20%20C_WATER%20%3D%20%22%231f77b4%22%0A%20%20%20%20C_LAND%20%3D%20%22%238c6d31%22%0A%20%20%20%20C_PRIOR%20%3D%20%22%238a8f98%22%0A%20%20%20%20C_POST%20%3D%20%22%232ca02c%22%0A%20%20%20%20C_CURRENT%20%3D%20%22%23d62728%22%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_CURRENT%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_LAND%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_POST%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_PRIOR%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_WATER%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Path%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20io%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20urllib%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20From%20Prior%20to%20Posterior%20%E2%80%94%20How%20Much%20of%20Earth%20Is%20Land%3F%0A%0A%20%20%20%20Let%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cphi%20%3D%20%5Cmathbb%7BP%7D(%5Ctext%7Ba%20randomly%20chosen%20point%20on%20Earth%20is%20land%7D)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20be%20the%20unknown%20quantity%20we%20want%20to%20estimate.%20We%20treat%20it%20as%20a%20random%20parameter%20%24%5CPhi%24.%20Before%20looking%2C%20we%20start%20with%20a%20deliberately%20vague%20belief%3A%20every%20value%20%24%5Cphi%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%24%20is%20considered%20equally%20plausible%20(a%20uniform%20prior).%0A%0A%20%20%20%20Now%20we%20make%20observations%20one%20by%20one.%20Each%20measurement%20picks%20a%20random%20point%20on%20a%20Wikimedia%20Commons%20map%20of%20Earth%20and%20records%20only%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20X_i%20%3D%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%20%20%20%201%2C%20%26%20%5Ctext%7Bland%7D%2C%5C%5C%0A%20%20%20%200%2C%20%26%20%5Ctext%7Bwater%7D.%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bcases%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20After%20%24n%24%20measurements%20we%20update%20our%20belief%20over%20the%20possible%20values%20of%20%24%5Cphi%24.%20The%20posterior%20is%20proportional%20to%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20f_%7B%5CPhi%5Cmid%5Cmathbf%7BX%7D%7D(%5Cphi%5Cmid%5Cmathbf%7Bx%7D)%0A%20%20%20%20%5Cpropto%0A%20%20%20%20%5Cunderbrace%7B%5Cphi%5E%7B%5C%2C%5Cell%7D(1-%5Cphi)%5E%7B%5C%2Cw%7D%7D_%7B%5Ctext%7Blikelihood%20of%20the%20observations%7D%7D%0A%20%20%20%20%5Ctimes%0A%20%20%20%20%5Cunderbrace%7B1%7D_%7B%5Ctext%7Buniform%20prior%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cell%24%20is%20the%20number%20of%20land%20observations%20and%20%24w%24%20is%20the%20number%20of%20water%20observations.%20Normalizing%20turns%20this%20into%20a%20Beta%20distribution%3A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20f_%7B%5CPhi%5Cmid%5Cmathbf%7BX%7D%7D(%5Cphi%5Cmid%5Cmathbf%7Bx%7D)%0A%20%20%20%20%3D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cphi%5E%7B%5C%2C%5Cell%7D(1-%5Cphi)%5E%7B%5C%2Cw%7D%7D%7BB(%5Cell%2B1%2C%5C%2Cw%2B1)%7D%0A%20%20%20%20%3D%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7BBeta%7D(%5Cphi%3B%5C%2C%20%5Cell%2B1%2C%5C%2C%20w%2B1).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20The%20measurement%20rule%20is%20intentionally%20concrete%3A%20read%20the%20colour%20of%20the%20map%20pixel%20at%20the%20sampled%20location.%20Blue-dominant%20pixels%20count%20as%20water%2C%20so%20%24X_i%20%3D%200%24%3B%20the%20remaining%20pixels%20count%20as%20land%2C%20so%20%24X_i%20%3D%201%24.%20Watch%20how%20the%20mass%20over%20plausible%20values%20of%20%24%5Cphi%24%20sharpens%20as%20the%20evidence%20accumulates.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Path%2C%20io%2C%20plt%2C%20urllib)%3A%0A%20%20%20%20MAP_IMAGE_NAME%20%3D%20%22whole_world_land_oceans_wikimedia.jpg%22%0A%20%20%20%20MAP_CREDIT%20%3D%20%22Map%20image%3A%20Wikimedia%20Commons%2C%20NASA%20Blue%20Marble%20composite.%22%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20image%20lives%20in%20images%2F%20next%20to%20this%20notebook.%20Load%20its%20pixels%20either%0A%20%20%20%20%23%20from%20disk%20(full-Python%20runtime)%20or%2C%20in%20the%20browser%2C%20from%20the%20same-origin%0A%20%20%20%20%23%20copy%20served%20alongside%20the%20exported%20HTML.%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Local%20runtime%20(%60marimo%20edit%60%2C%20validation)%3A%20read%20the%20file%20directly.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20map_image%20%3D%20plt.imread(str(Path(__file__).with_name(%22images%22)%20%2F%20MAP_IMAGE_NAME))%0A%20%20%20%20except%20NameError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Browser%20(WASM)%3A%20__file__%20is%20undefined%3B%20fetch%20images%2FNAME%20same-origin.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20urllib%20is%20routed%20through%20the%20browser's%20fetch%20by%20Pyodide.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20js%20%20%23%20ty%3A%20ignore%5Bunresolved-import%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_src%20%3D%20urllib.parse.urljoin(str(js.window.location.href)%2C%20%22images%2F%22%20%2B%20MAP_IMAGE_NAME)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20urllib.request.urlopen(_src)%20as%20_response%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20map_image%20%3D%20plt.imread(io.BytesIO(_response.read())%2C%20format%3D%22jpg%22)%0A%0A%20%20%20%20if%20map_image.dtype.kind%20in%20%7B%22u%22%2C%20%22i%22%7D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20map_image%20%3D%20map_image.astype(float)%20%2F%20255.0%0A%20%20%20%20if%20map_image.shape%5B-1%5D%20%3D%3D%204%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20map_image%20%3D%20map_image%5B...%2C%20%3A3%5D%0A%20%20%20%20return%20MAP_CREDIT%2C%20map_image%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20n_revealed%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22revealed%20measurements%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20seed%20%3D%20mo.ui.number(start%3D1%2C%20stop%3D9999%2C%20value%3D17%2C%20label%3D%22random%20seed%22)%0A%20%20%20%20%23%20mo.hstack(%5Bn_revealed%2C%20seed%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%0A%20%20%20%20return%20n_revealed%2C%20seed%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(map_image%2C%20np%2C%20seed)%3A%0A%20%20%20%20_seed_value%20%3D%20seed.value%0A%20%20%20%20if%20_seed_value%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_seed_value%20%3D%2017%0A%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(int(_seed_value))%0A%20%20%20%20n_total%20%3D%20200%0A%20%20%20%20longitudes%20%3D%20rng.uniform(-180.0%2C%20180.0%2C%20n_total)%0A%20%20%20%20latitudes%20%3D%20np.degrees(np.arcsin(rng.uniform(-1.0%2C%201.0%2C%20n_total)))%0A%0A%20%20%20%20_height%2C%20_width%20%3D%20map_image.shape%5B%3A2%5D%0A%20%20%20%20_cols%20%3D%20np.clip(((longitudes%20%2B%20180.0)%20%2F%20360.0%20*%20(_width%20-%201)).round().astype(int)%2C%200%2C%20_width%20-%201)%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20np.clip(((90.0%20-%20latitudes)%20%2F%20180.0%20*%20(_height%20-%201)).round().astype(int)%2C%200%2C%20_height%20-%201)%0A%20%20%20%20sampled_rgb%20%3D%20map_image%5B_rows%2C%20_cols%2C%20%3A3%5D%0A%0A%20%20%20%20_red%20%3D%20sampled_rgb%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20_green%20%3D%20sampled_rgb%5B%3A%2C%201%5D%0A%20%20%20%20_blue%20%3D%20sampled_rgb%5B%3A%2C%202%5D%0A%20%20%20%20_blue_dominance%20%3D%20_blue%20-%200.5%20*%20(_red%20%2B%20_green)%0A%20%20%20%20is_water%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_blue_dominance%20%3E%200.045)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(_blue%20%3E%201.15%20*%20_red)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(_blue%20%3E%201.15%20*%20_green)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20is_land%20%3D%20~is_water%0A%20%20%20%20return%20is_land%2C%20is_water%2C%20latitudes%2C%20longitudes%2C%20sampled_rgb%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(is_land%2C%20is_water%2C%20n_revealed%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_n_revealed_value%20%3D%20n_revealed.value%0A%20%20%20%20n%20%3D%200%20if%20_n_revealed_value%20is%20None%20else%20int(_n_revealed_value)%0A%20%20%20%20water_count%20%3D%20int(np.sum(is_water%5B%3An%5D))%0A%20%20%20%20land_count%20%3D%20int(np.sum(is_land%5B%3An%5D))%0A%0A%20%20%20%20p_grid%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.999%2C%20900)%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_density%20%3D%20np.ones_like(p_grid)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_weight%20%3D%20land_count%20*%20np.log(p_grid)%20%2B%20water_count%20*%20np.log1p(-p_grid)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_weight%20-%3D%20np.max(log_weight)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_density%20%3D%20np.exp(log_weight)%0A%20%20%20%20posterior_density%20%2F%3D%20np.trapezoid(posterior_density%2C%20p_grid)%0A%0A%20%20%20%20posterior_mean%20%3D%20(land_count%20%2B%201)%20%2F%20(n%20%2B%202)%0A%20%20%20%20if%20land_count%20%3D%3D%200%20and%20water_count%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_max%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20elif%20land_count%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_max%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20elif%20water_count%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_max%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_max%20%3D%20land_count%20%2F%20n%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20land_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_max%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_mean%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20water_count%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_CURRENT%2C%0A%20%20%20%20C_LAND%2C%0A%20%20%20%20C_WATER%2C%0A%20%20%20%20MAP_CREDIT%2C%0A%20%20%20%20is_water%2C%0A%20%20%20%20latitudes%2C%0A%20%20%20%20longitudes%2C%0A%20%20%20%20map_image%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n%2C%0A%20%20%20%20n_revealed%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20seed%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20fig_map%2C%20ax_map%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204.8))%0A%20%20%20%20ax_map.imshow(map_image%2C%20extent%3D%5B-180%2C%20180%2C%20-90%2C%2090%5D%2C%20origin%3D%22upper%22)%0A%0A%20%20%20%20if%20n%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_colors%20%3D%20%5BC_WATER%20if%20_water%20else%20C_LAND%20for%20_water%20in%20is_water%5B%3An%5D%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax_map.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20longitudes%5B%3An%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20latitudes%5B%3An%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20c%3D_colors%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D42%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolors%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidths%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax_map.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blongitudes%5Bn%20-%201%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blatitudes%5Bn%20-%201%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolors%3D%22none%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolors%3DC_CURRENT%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D170%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidths%3D2.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22newest%20measurement%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20ax_map.set_xlim(-180%2C%20180)%0A%20%20%20%20ax_map.set_ylim(-90%2C%2090)%0A%20%20%20%20ax_map.set_xticks(np.arange(-180%2C%20181%2C%2060))%0A%20%20%20%20ax_map.set_yticks(np.arange(-60%2C%2061%2C%2030))%0A%20%20%20%20ax_map.grid(color%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D0.8%2C%20alpha%3D0.75)%0A%20%20%20%20ax_map.set_xlabel(%22longitude%22)%0A%20%20%20%20ax_map.set_ylabel(%22latitude%22)%0A%20%20%20%20ax_map.set_title(%22Random%20locations%20on%20Earth%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_map.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-178%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-84%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22classification%20uses%20the%20colour%20of%20the%20sampled%20map%20pixel%3B%20points%20sampled%20uniformly%20on%20the%20sphere%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D%7B%22boxstyle%22%3A%20%22round%2Cpad%3D0.25%22%2C%20%22facecolor%22%3A%20%22black%22%2C%20%22alpha%22%3A%200.45%2C%20%22edgecolor%22%3A%20%22none%22%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20n%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax_map.legend(loc%3D%22upper%20right%22%2C%20frameon%3DTrue)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_credit%20%3D%20mo.md(MAP_CREDIT)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bmo.hstack(%5Bn_revealed%2C%20seed%5D)%2C%20mo.mpl.interactive(fig_map)%2C%20_credit%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_CURRENT%2C%0A%20%20%20%20C_LAND%2C%0A%20%20%20%20C_POST%2C%0A%20%20%20%20C_PRIOR%2C%0A%20%20%20%20C_WATER%2C%0A%20%20%20%20land_count%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n%2C%0A%20%20%20%20p_grid%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20posterior_density%2C%0A%20%20%20%20posterior_max%2C%0A%20%20%20%20posterior_mean%2C%0A%20%20%20%20water_count%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20fig_post%2C%20ax_post%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9%2C%204.6))%0A%20%20%20%20ax_post.plot(%5B0%2C%201%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%2C%20color%3DC_PRIOR%2C%20lw%3D2.0%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3D%22prior%22)%0A%20%20%20%20ax_post.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_density%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_POST%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22posterior%20after%20the%20measurements%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_post.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_max%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_CURRENT%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22posterior%20max%20(MAP)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_post.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20posterior_mean%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22black%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22posterior%20mean%20(MMSE)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_post.axvline(0.29%2C%20color%3DC_LAND%2C%20lw%3D1.6%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20label%3D%22about%2029%25%20land%22)%0A%0A%20%20%20%20ax_post.set_xlim(0%2C%201)%0A%20%20%20%20ax_post.set_ylim(bottom%3D0)%0A%20%20%20%20ax_post.set_xlabel(r%22hypothetical%20land%20fraction%20%24%5Cphi%24%22)%0A%20%20%20%20ax_post.set_ylabel(%22posterior%20density%22)%0A%20%20%20%20ax_post.set_title(%22Belief%20over%20the%20unknown%20land%20fraction%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_post.grid(alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20ax_post.legend(loc%3D%22upper%20left%22)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_summary%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Measurements%20revealed%3A%20**%7Bn%7D**%20%26nbsp%3B%20%7C%20%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Land%3A%20%3Cspan%20style%3D%22color%3A%7BC_LAND%7D%3Bfont-weight%3A700%22%3E%7Bland_count%7D%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26nbsp%3B%20%7C%20%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Water%3A%20%3Cspan%20style%3D%22color%3A%7BC_WATER%7D%3Bfont-weight%3A700%22%3E%7Bwater_count%7D%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Posterior%20mean%20%2F%20MMSE%3A%20**%7Bposterior_mean%3A.3f%7D**%20%26nbsp%3B%20%7C%20%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Posterior%20max%20%2F%20MAP%3A%20**%7Bposterior_max%3A.3f%7D**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bmo.mpl.interactive(fig_post)%2C%20_summary%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(C_LAND%2C%20C_WATER%2C%20is_water%2C%20mo%2C%20n%2C%20np%2C%20sampled_rgb)%3A%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_content%20%3D%20mo.md(%22Move%20the%20slider%20to%20reveal%20the%20first%20measurement.%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_start%20%3D%20max(0%2C%20n%20-%2012)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_idx%20in%20range(_start%2C%20n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_result%20%3D%20%22water%22%20if%20is_water%5B_idx%5D%20else%20%22land%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_color%20%3D%20C_WATER%20if%20is_water%5B_idx%5D%20else%20C_LAND%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rgb%20%3D%20tuple(int(255%20*%20_channel)%20for%20_channel%20in%20sampled_rgb%5B_idx%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_hex%20%3D%20%22%23%7B%3A02x%7D%7B%3A02x%7D%7B%3A02x%7D%22.format(*_rgb)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Ctr%3E%3Ctd%3E%7B_idx%20%2B%201%7D%3C%2Ftd%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Ctd%3E%3Cspan%20style%3D'display%3Ainline-block%3Bwidth%3A1.1em%3Bheight%3A1.1em%3B%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22border-radius%3A50%25%3Bbackground%3A%7B_hex%7D%3Bborder%3A1px%20solid%20%23777%3B%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22vertical-align%3A-0.15em%3Bmargin-right%3A0.45em'%3E%3C%2Fspan%3E%7B_hex%7D%3C%2Ftd%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Ctd%20style%3D'color%3A%7B_color%7D%3Bfont-weight%3A700'%3E%7B_result%7D%3C%2Ftd%3E%3C%2Ftr%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_table%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%3Ctable%3E%3Cthead%3E%3Ctr%3E%3Cth%3Emeasurement%3C%2Fth%3E%3Cth%3Epixel%20colour%3C%2Fth%3E%3Cth%3Eresult%3C%2Fth%3E%3C%2Ftr%3E%3C%2Fthead%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Ctbody%3E%7B''.join(_rows)%7D%3C%2Ftbody%3E%3C%2Ftable%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_land_running%20%3D%20np.cumsum(~is_water%5B%3An%5D)%20%2F%20np.arange(1%2C%20n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_content%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(_table)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20running%20relative%20frequency%20after%20the%20latest%20measurement%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Cell%7D%7D%7B%7Bn%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7Bint(np.sum(~is_water%5B%3An%5D))%7D%7D%7D%7B%7B%7Bn%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7Bfloat(_land_running%5B-1%5D)%3A.3f%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20posterior%20does%20not%20collapse%20to%20this%20number.%20It%20keeps%20track%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nearby%20values%20of%20%24%5C%5Cphi%24%20that%20could%20still%20plausibly%20have%20produced%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20observations%20seen%20so%20far.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D%5B1%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_content%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20posterior_max%2C%20posterior_mean)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20MAP%20versus%20Bayesian%20MMSE%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20notation%20of%20the%20lecture%20notes%2C%20the%20unknown%20land%20fraction%20is%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20random%20parameter%20%24%5CPhi%24%20and%20the%20revealed%20measurements%20are%20the%20observation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vector%20%24%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%3D(x_1%2C%5Cldots%2Cx_n)%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**MAP%20estimate**%20is%20the%20value%20where%20the%20posterior%20density%20is%20largest%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cwidehat%7B%7B%5Cphi%7D%7D_%7B%7B%5Cmathrm%7B%7BMAP%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Carg%5Cmax_%5Cphi%20f_%7B%7B%5CPhi%5Cmid%5Cmathbf%7B%7BX%7D%7D%7D%7D(%5Cphi%5Cmid%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20this%20run%2C%20that%20posterior%20maximum%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cwidehat%7B%7B%5Cphi%7D%7D_%7B%7B%5Cmathrm%7B%7BMAP%7D%7D%7D%7D%3D%7Bposterior_max%3A.3f%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**Bayesian%20MMSE%20estimate**%20uses%20squared-error%20loss.%20The%20lecture%20notes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show%20that%20the%20minimizer%20is%20the%20conditional%20mean%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cwidehat%7B%7B%5Cphi%7D%7D_%7B%7B%5Cmathrm%7B%7BMMSE%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7B%7BE%7D%7D%5B%5CPhi%5Cmid%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%5D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20With%20a%20uniform%20prior%20and%20%24%5Cell%24%20land%20observations%20in%20%24n%24%20measurements%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7B%7BE%7D%7D%5B%5CPhi%5Cmid%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7B%5Cell%2B1%7D%7D%7B%7Bn%2B2%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20this%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cwidehat%7B%7B%5Cphi%7D%7D_%7B%7B%5Cmathrm%7B%7BMMSE%7D%7D%7D%7D%3D%7Bposterior_mean%3A.3f%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20the%20next%20measurement%20%24X_%7B%7Bn%2B1%7D%7D%5Cin%5C%7B%7B0%2C1%5C%7D%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7B%7BE%7D%7D%5BX_%7B%7Bn%2B1%7D%7D%5Cmid%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7B%7BE%7D%7D%5C!%5Cleft%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7B%7BE%7D%7D%5BX_%7B%7Bn%2B1%7D%7D%5Cmid%5CPhi%2C%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%5D%5Cmid%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7B%7BE%7D%7D%5B%5CPhi%5Cmid%5Cmathbf%7B%7Bx%7D%7D%5D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20So%20the%20predictive%20value%20for%20the%20next%20measurement%20is%20the%20Bayesian%20MMSE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20estimate%2C%20not%20the%20MAP%20value.%20MAP%20answers%20%22which%20parameter%20value%20is%20most%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dense%20under%20the%20posterior%3F%22%2C%20while%20prediction%20under%20squared-error%20loss%0A%20%20%20%20%20%20%20%20asks%20for%20the%20conditional%20mean.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Key%20Takeaways%0A%0A%20%20%20%201.%20**A%20prior%20is%20a%20distribution%20over%20possible%20parameter%20values.**%20Here%20the%20parameter%20is%20the%20land%20fraction%20%24%5Cphi%24%2C%20not%20the%20next%20observation%20itself.%0A%0A%20%20%20%202.%20**Each%20observation%20reweights%20the%20possible%20worlds.**%20Values%20of%20%24%5Cphi%24%20that%20make%20the%20observed%20sequence%20more%20likely%20receive%20more%20posterior%20mass.%0A%0A%20%20%20%203.%20**Uncertainty%20narrows%20gradually.**%20After%20a%20few%20measurements%20many%20values%20of%20%24%5Cphi%24%20are%20still%20plausible.%20After%20many%20measurements%20the%20posterior%20becomes%20sharply%20concentrated%20near%20the%20empirical%20land%20fraction.%0A%0A%20%20%20%204.%20**The%20posterior%20is%20the%20new%20prior.**%20If%20another%20measurement%20arrives%2C%20the%20current%20posterior%20is%20exactly%20the%20belief%20state%20that%20gets%20updated%20next.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A