function of random variable interactive

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.patches%20import%20ConnectionPatch%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.ticker%20import%20FuncFormatter%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22default%22)%0A%0A%20%20%20%20C_X%20%3D%20%22%232563eb%22%0A%20%20%20%20C_Y%20%3D%20%22%23dc2626%22%0A%20%20%20%20C_MAP%20%3D%20%22%23111827%22%0A%20%20%20%20C_FILL%20%3D%20%22%23f59e0b%22%0A%20%20%20%20C_BRANCH%20%3D%20%5B%22%232563eb%22%2C%20%22%237c3aed%22%2C%20%22%23059669%22%2C%20%22%23ea580c%22%5D%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20normal_pdf(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp(-0.5%20*%20x**2)%20%2F%20np.sqrt(2.0%20*%20np.pi)%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20clean_axis(ax%2C%20grid%3DTrue)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.spines%5B%5B%22top%22%2C%20%22right%22%5D%5D.set_visible(False)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20grid%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.grid(alpha%3D0.18)%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20positive_density_ticks(ax)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.xaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(lambda%20value%2C%20_position%3A%20f%22%7Babs(value)%3Ag%7D%22))%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20piecewise_spec(name)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xk%20%3D%20np.array(%5B-3.0%2C%20-1.0%2C%201.0%2C%203.0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20name%20%3D%3D%20%22Monotone%3A%20local%20stretch%20and%20compression%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yk%20%3D%20np.array(%5B-2.5%2C%20-1.7%2C%201.4%2C%202.7%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20name%20%3D%3D%20%22Fold%3A%20several%20branches%20arrive%20together%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yk%20%3D%20np.array(%5B2.4%2C%20-1.4%2C%201.5%2C%20-0.6%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yk%20%3D%20np.array(%5B-2.3%2C%20-0.6%2C%20-0.6%2C%202.2%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20xk%2C%20yk%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20evaluate_piecewise(x%2C%20xk%2C%20yk)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.interp(x%2C%20xk%2C%20yk)%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20general_map(name%2C%20x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20name%20%3D%3D%20%22Quadratic%20fold%3A%20g(x)%20%3D%20x%C2%B2%2F2%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.5%20*%20x**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20name%20%3D%3D%20%22Sinusoidal%20folds%3A%20g(x)%20%3D%201.6%20sin(1.25x)%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.6%20*%20np.sin(1.25%20*%20x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20name%20%3D%3D%20%22Limiter%20with%20flat%20tails%3A%20g(x)%20%3D%20clip(x%2C%20%E2%88%921%2C%201)%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.clip(x%2C%20-1.0%2C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.22%20*%20x**3%20-%20x%0A%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_BRANCH%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_FILL%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_MAP%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_X%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_Y%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ConnectionPatch%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20clean_axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20evaluate_piecewise%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20general_map%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20normal_pdf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20piecewise_spec%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positive_density_ticks%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Functions%20of%20a%20Random%20Variable%20%E2%80%94%20Follow%20the%20Probability%20Mass%0A%0A%20%20%20%20A%20deterministic%20map%20sends%20every%20realization%20of%20%24X%24%20to%20a%20realization%20of%20a%20new%20random%20variable%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24Y%3Dg(X)%2C%20%5Cqquad%20Y(%5Ceta)%3Dg%5C!%5Cleft(X(%5Ceta)%5Cright).%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20map%20moves%20values%3B%20the%20probability%20attached%20to%20those%20values%20must%20move%20with%20them.%20Work%20through%20the%20four%20views%20in%20order%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Discrete%20%24X%24%3A**%20move%20probability%20masses%20and%20add%20them%20when%20outputs%20collide.%0A%20%20%20%202.%20**Continuous%2C%20linear%20%24g%24%3A**%20stretch%20or%20reverse%20the%20axis%20while%20conserving%20area.%0A%20%20%20%203.%20**Continuous%2C%20piecewise-linear%20%24g%24%3A**%20apply%20the%20local%20slope%20branch%20by%20branch%3B%20folds%20add%20contributions%20and%20flat%20pieces%20create%20atoms.%0A%20%20%20%204.%20**General%20%24g%24%3A**%20find%20the%20whole%20preimage%20%24%5C%7Bx%3Ag(x)%5Cleq%20y%5C%7D%24%20and%20integrate%20over%20it.%0A%0A%20%20%20%20Use%20the%20controls%20above%20each%20figure.%20The%20notation%20follows%20the%20merged%20lecture%20notes%3A%20%24Y%3Dg(X)%24%2C%20input%20law%20%24f_X%24%2C%20output%20law%20%24f_Y%24%2C%20and%20CDF%20%24F_Y%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201%20%C2%B7%20Discrete%20random%20variable%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20discrete%20input%2C%20each%20input%20mass%20travels%20to%20its%20mapped%20location.%20If%20several%20inputs%20land%20at%20the%20same%20output%2C%20their%20probabilities%20**add**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20discrete_mapping%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22One-to-one%3A%20g(x)%20%3D%202x%20%E2%88%92%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Fold%3A%20g(x)%20%3D%20%7Cx%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Quantizer%3A%20g(x)%20%3D%20sign(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Fold%3A%20g(x)%20%3D%20%7Cx%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Choose%20the%20mapping%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20discrete_guides%20%3D%20mo.ui.checkbox(value%3DTrue%2C%20label%3D%22Draw%20transport%20guide%20lines%22)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bdiscrete_mapping%2C%20discrete_guides%5D%2C%20widths%3D%5B2%2C%201%5D)%0A%20%20%20%20return%20discrete_guides%2C%20discrete_mapping%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_BRANCH%2C%0A%20%20%20%20C_MAP%2C%0A%20%20%20%20C_X%2C%0A%20%20%20%20C_Y%2C%0A%20%20%20%20ConnectionPatch%2C%0A%20%20%20%20clean_axis%2C%0A%20%20%20%20discrete_guides%2C%0A%20%20%20%20discrete_mapping%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20positive_density_ticks%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_x_d%20%3D%20np.array(%5B-2.0%2C%20-1.0%2C%200.0%2C%201.0%2C%202.0%5D)%0A%20%20%20%20_p_d%20%3D%20np.array(%5B0.10%2C%200.20%2C%200.25%2C%200.30%2C%200.15%5D)%0A%0A%20%20%20%20if%20discrete_mapping.value.startswith(%22One-to-one%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_d%20%3D%202.0%20*%20_x_d%20-%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_g_label_d%20%3D%20r%22g(x)%3D2x-1%22%0A%20%20%20%20elif%20discrete_mapping.value.startswith(%22Fold%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_d%20%3D%20np.abs(_x_d)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_g_label_d%20%3D%20r%22g(x)%3D%7Cx%7C%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_d%20%3D%20np.sign(_x_d)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_g_label_d%20%3D%20r%22g(x)%3D%5Coperatorname%7Bsign%7D(x)%22%0A%0A%20%20%20%20_y_unique_d%20%3D%20np.unique(_y_d)%0A%20%20%20%20_p_y_d%20%3D%20np.array(%5B_p_d%5B_y_d%20%3D%3D%20_v%5D.sum()%20for%20_v%20in%20_y_unique_d%5D)%0A%20%20%20%20_xmin_d%2C%20_xmax_d%20%3D%20_x_d.min()%20-%200.6%2C%20_x_d.max()%20%2B%200.6%0A%20%20%20%20_ymin_d%2C%20_ymax_d%20%3D%20_y_d.min()%20-%200.6%2C%20_y_d.max()%20%2B%200.6%0A%0A%20%20%20%20_fig_d%20%3D%20plt.figure(figsize%3D(12.8%2C%207.2))%0A%20%20%20%20_gs_d%20%3D%20_fig_d.add_gridspec(2%2C%202%2C%20width_ratios%3D%5B1.35%2C%201.0%5D%2C%20height_ratios%3D%5B1.35%2C%201.0%5D%2C%20hspace%3D0.16%2C%20wspace%3D0.12)%0A%20%20%20%20_ax_map_d%20%3D%20_fig_d.add_subplot(_gs_d%5B0%2C%200%5D)%0A%20%20%20%20_ax_x_d%20%3D%20_fig_d.add_subplot(_gs_d%5B1%2C%200%5D%2C%20sharex%3D_ax_map_d)%0A%20%20%20%20_ax_y_d%20%3D%20_fig_d.add_subplot(_gs_d%5B0%2C%201%5D%2C%20sharey%3D_ax_map_d)%0A%20%20%20%20_ax_note_d%20%3D%20_fig_d.add_subplot(_gs_d%5B1%2C%201%5D)%0A%0A%20%20%20%20_ax_map_d.plot(_x_d%2C%20_y_d%2C%20color%3DC_MAP%2C%20lw%3D2.4%2C%20marker%3D%22o%22%2C%20ms%3D7)%0A%20%20%20%20_ax_map_d.axhline(0%2C%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_map_d.axvline(0%2C%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_map_d.set(xlim%3D(_xmin_d%2C%20_xmax_d)%2C%20ylim%3D(_ymin_d%2C%20_ymax_d)%2C%20title%3Drf%22Mapping%20%24y%3D%7B_g_label_d%7D%24%22%2C%20ylabel%3Dr%22output%20%24y%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_map_d.tick_params(labelbottom%3DFalse)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_map_d)%0A%0A%20%20%20%20_mx_d%2C%20_sx_d%2C%20_bx_d%20%3D%20_ax_x_d.stem(_x_d%2C%20_p_d%2C%20basefmt%3D%22%20%22)%0A%20%20%20%20plt.setp(_mx_d%2C%20color%3DC_X%2C%20markersize%3D8)%0A%20%20%20%20plt.setp(_sx_d%2C%20color%3DC_X%2C%20linewidth%3D3)%0A%20%20%20%20_ax_x_d.set(xlim%3D(_xmin_d%2C%20_xmax_d)%2C%20ylim%3D(0%2C%200.55)%2C%20title%3Dr%22Source%20PMF%20%24p_X(x)%24%22%2C%20xlabel%3Dr%22input%20%24x%24%22%2C%20ylabel%3D%22probability%22)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_x_d)%0A%0A%20%20%20%20for%20_yu_d%2C%20_py_d%20in%20zip(_y_unique_d%2C%20_p_y_d)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_y_d.hlines(_yu_d%2C%20-_py_d%2C%200%2C%20color%3DC_Y%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_y_d.scatter(%5B-_py_d%5D%2C%20%5B_yu_d%5D%2C%20color%3DC_Y%2C%20s%3D62%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_count_d%20%3D%20int(np.sum(_y_d%20%3D%3D%20_yu_d))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_count_d%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_y_d.annotate(f%22%7B_count_d%7D%20masses%20add%22%2C%20(-_py_d%2C%20_yu_d)%2C%20xytext%3D(-8%2C%208)%2C%20textcoords%3D%22offset%20points%22%2C%20ha%3D%22right%22%2C%20color%3DC_Y%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_d.axvline(0%2C%20color%3DC_MAP%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20_ax_y_d.set(xlim%3D(-0.56%2C%200.04)%2C%20ylim%3D(_ymin_d%2C%20_ymax_d)%2C%20title%3Dr%22Target%20PMF%20%24p_Y(y)%24%22%2C%20xlabel%3D%22probability%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_d.yaxis.tick_right()%0A%20%20%20%20_ax_y_d.yaxis.set_label_position(%22right%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_d.set_ylabel(r%22output%20%24y%24%22)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_y_d)%0A%20%20%20%20positive_density_ticks(_ax_y_d)%0A%0A%20%20%20%20if%20discrete_guides.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_i_d%2C%20(_xd%2C%20_yd)%20in%20enumerate(zip(_x_d%2C%20_y_d))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_color_d%20%3D%20C_BRANCH%5B_i_d%20%25%20len(C_BRANCH)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_d.add_artist(ConnectionPatch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyA%3D(_xd%2C%200)%2C%20coordsA%3D_ax_x_d.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyB%3D(_xd%2C%20_yd)%2C%20coordsB%3D_ax_map_d.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color_d%2C%20lw%3D1.35%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.62%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_d.add_artist(ConnectionPatch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyA%3D(_xd%2C%20_yd)%2C%20coordsA%3D_ax_map_d.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyB%3D(0%2C%20_yd)%2C%20coordsB%3D_ax_y_d.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color_d%2C%20lw%3D1.35%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.62%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_ax_note_d.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20_ax_note_d.text(0.04%2C%200.82%2C%20%22Read%20the%20geometry%22%2C%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D%22bold%22%2C%20transform%3D_ax_note_d.transAxes)%0A%20%20%20%20_ax_note_d.text(0.04%2C%200.62%2C%20%221.%20Start%20at%20an%20input%20mass%20below.%5Cn2.%20Move%20vertically%20to%20the%20map.%5Cn3.%20Move%20horizontally%20to%20the%20output%20axis.%5Cn4.%20Add%20masses%20that%20arrive%20at%20the%20same%20y.%22%2C%20fontsize%3D11%2C%20linespacing%3D1.55%2C%20transform%3D_ax_note_d.transAxes%2C%20va%3D%22top%22)%0A%20%20%20%20_ax_note_d.text(0.04%2C%200.05%2C%20rf%22%24%5Csum_i%20p_X(x_i)%3D%5Csum_j%20p_Y(y_j)%3D%7B_p_y_d.sum()%3A.1f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20color%3DC_Y%2C%20transform%3D_ax_note_d.transAxes)%0A%0A%20%20%20%20_fig_d.suptitle(%22Discrete%20probability%20transport%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_fig_d.subplots_adjust(top%3D0.90%2C%20bottom%3D0.09%2C%20left%3D0.07%2C%20right%3D0.94)%0A%20%20%20%20_fig_d%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(discrete_mapping%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_x_note_d%20%3D%20np.array(%5B-2.0%2C%20-1.0%2C%200.0%2C%201.0%2C%202.0%5D)%0A%20%20%20%20_p_note_d%20%3D%20np.array(%5B0.10%2C%200.20%2C%200.25%2C%200.30%2C%200.15%5D)%0A%20%20%20%20if%20discrete_mapping.value.startswith(%22One-to-one%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_note_d%20%3D%202.0%20*%20_x_note_d%20-%201.0%0A%20%20%20%20elif%20discrete_mapping.value.startswith(%22Fold%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_note_d%20%3D%20np.abs(_x_note_d)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_note_d%20%3D%20np.sign(_x_note_d)%0A%20%20%20%20_yu_note_d%20%3D%20np.unique(_y_note_d)%0A%20%20%20%20_py_note_d%20%3D%20np.array(%5B_p_note_d%5B_y_note_d%20%3D%3D%20_v%5D.sum()%20for%20_v%20in%20_yu_note_d%5D)%0A%20%20%20%20_collision_text_d%20%3D%20%22No%20outputs%20collide%3A%20each%20mass%20simply%20changes%20location.%22%20if%20len(_yu_note_d)%20%3D%3D%20len(_x_note_d)%20else%20%22Colliding%20arrows%20show%20exactly%20which%20input%20probabilities%20must%20be%20summed.%22%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20For%20every%20attainable%20output%20%24y_j%24%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24p_Y(y_j)%3D%5Csum_%7B%7Bx_i%3A%5C%2Cg(x_i)%3Dy_j%7D%7Dp_X(x_i).%24%24%0A%0A%20%20%20%20**%7B_collision_text_d%7D**%20The%20displayed%20output%20masses%20sum%20to%20%24%7B_py_note_d.sum()%3A.2f%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202%20%C2%B7%20Continuous%20random%20variable%20with%20a%20linear%20mapping%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24X%5Csim%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C1)%24%20and%20%24Y%3DaX%2Bb%24.%20Translation%20changes%20location%3B%20%24%7Ca%7C%24%20changes%20width.%20A%20negative%20%24a%24%20also%20reverses%20orientation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20slope_magnitude%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.4%2C%20stop%3D3.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.8%2C%20label%3D%22Stretch%20%7Ca%7C%22)%0A%20%20%20%20slope_direction%20%3D%20mo.ui.dropdown(options%3D%7B%22Increasing%20(a%20%3E%200)%22%3A%201.0%2C%20%22Decreasing%20(a%20%3C%200)%22%3A%20-1.0%7D%2C%20value%3D%22Increasing%20(a%20%3E%200)%22%2C%20label%3D%22Orientation%22)%0A%20%20%20%20linear_offset%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D-2.0%2C%20stop%3D2.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D0.5%2C%20label%3D%22Shift%20b%22)%0A%20%20%20%20linear_probe%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D-2.5%2C%20stop%3D2.5%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.0%2C%20label%3D%22Guide%20input%20x%E2%98%85%22)%0A%20%20%20%20linear_guides%20%3D%20mo.ui.checkbox(value%3DTrue%2C%20label%3D%22Draw%20axis-to-axis%20guides%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bslope_magnitude%2C%20slope_direction%2C%20linear_offset%5D%2C%20widths%3D%22equal%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Blinear_probe%2C%20linear_guides%5D%2C%20widths%3D%5B2%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linear_guides%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linear_offset%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linear_probe%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slope_direction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slope_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_FILL%2C%0A%20%20%20%20C_MAP%2C%0A%20%20%20%20C_X%2C%0A%20%20%20%20C_Y%2C%0A%20%20%20%20ConnectionPatch%2C%0A%20%20%20%20clean_axis%2C%0A%20%20%20%20linear_guides%2C%0A%20%20%20%20linear_offset%2C%0A%20%20%20%20linear_probe%2C%0A%20%20%20%20normal_pdf%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20positive_density_ticks%2C%0A%20%20%20%20slope_direction%2C%0A%20%20%20%20slope_magnitude%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_a_l%20%3D%20slope_direction.value%20*%20slope_magnitude.value%0A%20%20%20%20_b_l%20%3D%20linear_offset.value%0A%20%20%20%20_probe_x_l%20%3D%20linear_probe.value%0A%20%20%20%20_probe_y_l%20%3D%20_a_l%20*%20_probe_x_l%20%2B%20_b_l%0A%20%20%20%20_x_l%20%3D%20np.linspace(-4.0%2C%204.0%2C%20700)%0A%20%20%20%20_y_l%20%3D%20np.linspace(_b_l%20-%204.2%20*%20abs(_a_l)%2C%20_b_l%20%2B%204.2%20*%20abs(_a_l)%2C%20700)%0A%20%20%20%20_fx_l%20%3D%20normal_pdf(_x_l)%0A%20%20%20%20_fy_l%20%3D%20normal_pdf((_y_l%20-%20_b_l)%20%2F%20_a_l)%20%2F%20abs(_a_l)%0A%20%20%20%20_probe_fx_l%20%3D%20float(normal_pdf(np.array(%5B_probe_x_l%5D))%5B0%5D)%0A%20%20%20%20_probe_fy_l%20%3D%20float(normal_pdf(np.array(%5B(_probe_y_l%20-%20_b_l)%20%2F%20_a_l%5D))%5B0%5D%20%2F%20abs(_a_l))%0A%0A%20%20%20%20_fig_l%20%3D%20plt.figure(figsize%3D(12.8%2C%207.2))%0A%20%20%20%20_gs_l%20%3D%20_fig_l.add_gridspec(2%2C%202%2C%20width_ratios%3D%5B1.35%2C%201.0%5D%2C%20height_ratios%3D%5B1.35%2C%201.0%5D%2C%20hspace%3D0.16%2C%20wspace%3D0.12)%0A%20%20%20%20_ax_map_l%20%3D%20_fig_l.add_subplot(_gs_l%5B0%2C%200%5D)%0A%20%20%20%20_ax_x_l%20%3D%20_fig_l.add_subplot(_gs_l%5B1%2C%200%5D%2C%20sharex%3D_ax_map_l)%0A%20%20%20%20_ax_y_l%20%3D%20_fig_l.add_subplot(_gs_l%5B0%2C%201%5D%2C%20sharey%3D_ax_map_l)%0A%20%20%20%20_ax_note_l%20%3D%20_fig_l.add_subplot(_gs_l%5B1%2C%201%5D)%0A%0A%20%20%20%20_ax_map_l.plot(_x_l%2C%20_a_l%20*%20_x_l%20%2B%20_b_l%2C%20color%3DC_MAP%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20_ax_map_l.scatter(%5B_probe_x_l%5D%2C%20%5B_probe_y_l%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D78%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_map_l.axhline(0%2C%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_map_l.axvline(0%2C%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_map_l.set(xlim%3D(-4%2C%204)%2C%20ylim%3D(_y_l.min()%2C%20_y_l.max())%2C%20title%3Drf%22Mapping%20%24y%3D%7B_a_l%3A.1f%7Dx%7B_b_l%3A%2B.1f%7D%24%22%2C%20ylabel%3Dr%22output%20%24y%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_map_l.tick_params(labelbottom%3DFalse)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_map_l)%0A%0A%20%20%20%20_ax_x_l.plot(_x_l%2C%20_fx_l%2C%20color%3DC_X%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20_ax_x_l.fill_between(_x_l%2C%20_fx_l%2C%20color%3DC_X%2C%20alpha%3D0.16)%0A%20%20%20%20_ax_x_l.scatter(%5B_probe_x_l%5D%2C%20%5B_probe_fx_l%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D62%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_x_l.set(xlim%3D(-4%2C%204)%2C%20ylim%3D(0%2C%200.46)%2C%20title%3Dr%22Source%20density%20%24f_X(x)%24%22%2C%20xlabel%3Dr%22input%20%24x%24%22%2C%20ylabel%3D%22density%22)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_x_l)%0A%0A%20%20%20%20_ax_y_l.plot(-_fy_l%2C%20_y_l%2C%20color%3DC_Y%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20_ax_y_l.fill_betweenx(_y_l%2C%20-_fy_l%2C%200%2C%20color%3DC_Y%2C%20alpha%3D0.16)%0A%20%20%20%20_ax_y_l.scatter(%5B-_probe_fy_l%5D%2C%20%5B_probe_y_l%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D62%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_y_l.axvline(0%2C%20color%3DC_MAP%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20_ax_y_l.set(xlim%3D(-max(0.48%2C%201.12%20*%20_fy_l.max())%2C%200.025)%2C%20ylim%3D(_y_l.min()%2C%20_y_l.max())%2C%20title%3Dr%22Target%20density%20%24f_Y(y)%24%22%2C%20xlabel%3D%22density%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_l.yaxis.tick_right()%0A%20%20%20%20_ax_y_l.yaxis.set_label_position(%22right%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_l.set_ylabel(r%22output%20%24y%24%22)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_y_l)%0A%20%20%20%20positive_density_ticks(_ax_y_l)%0A%0A%20%20%20%20if%20linear_guides.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_l.add_artist(ConnectionPatch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyA%3D(_probe_x_l%2C%200)%2C%20coordsA%3D_ax_x_l.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyB%3D(_probe_x_l%2C%20_probe_y_l)%2C%20coordsB%3D_ax_map_l.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_FILL%2C%20lw%3D2.0%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.9%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_l.add_artist(ConnectionPatch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyA%3D(_probe_x_l%2C%20_probe_y_l)%2C%20coordsA%3D_ax_map_l.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyB%3D(0%2C%20_probe_y_l)%2C%20coordsB%3D_ax_y_l.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_FILL%2C%20lw%3D2.0%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.9%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_ax_note_l.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20_ax_note_l.text(0.04%2C%200.82%2C%20rf%22%24x_%5Cstar%3D%7B_probe_x_l%3A.1f%7D%5C%3B%5Cmapsto%5C%3By_%5Cstar%3D%7B_probe_y_l%3A.2f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D%22bold%22%2C%20transform%3D_ax_note_l.transAxes)%0A%20%20%20%20_ax_note_l.text(0.04%2C%200.57%2C%20rf%22%24f_X(x_%5Cstar)%3D%7B_probe_fx_l%3A.3f%7D%24%22%20%2B%20%22%5Cn%22%20%2B%20rf%22%24f_Y(y_%5Cstar)%3D%7B_probe_fy_l%3A.3f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20linespacing%3D1.7%2C%20transform%3D_ax_note_l.transAxes)%0A%20%20%20%20_ax_note_l.text(0.04%2C%200.25%2C%20rf%22width%20%24%5Ctimes%5C%2C%7Babs(_a_l)%3A.1f%7D%24%22%20%2B%20%22%5Cn%22%20%2B%20rf%22height%20%24%5Ctimes%5C%2C%7B1%2Fabs(_a_l)%3A.2f%7D%24%22%20%2B%20%22%5Cn%22%20%2B%20r%22area%20%24%3D1%24%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20linespacing%3D1.5%2C%20color%3DC_Y%2C%20transform%3D_ax_note_l.transAxes)%0A%0A%20%20%20%20_fig_l.suptitle(%22Linear%20mapping%3A%20follow%20one%20input%20vertically%2C%20then%20its%20output%20horizontally%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_fig_l.subplots_adjust(top%3D0.90%2C%20bottom%3D0.09%2C%20left%3D0.07%2C%20right%3D0.94)%0A%20%20%20%20_fig_l%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(linear_offset%2C%20mo%2C%20slope_direction%2C%20slope_magnitude)%3A%0A%20%20%20%20_a_note_l%20%3D%20slope_direction.value%20*%20slope_magnitude.value%0A%20%20%20%20_b_note_l%20%3D%20linear_offset.value%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20change-of-variables%20formula%20from%20the%20notes%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24f_Y(y)%3D%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7B%7Ca%7C%7D%7Df_X%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7By-b%7D%7D%7B%7Ba%7D%7D%5Cright).%24%24%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24a%3D%7B_a_note_l%3A.1f%7D%24%20and%20%24b%3D%7B_b_note_l%3A.1f%7D%24.%20Stretching%20the%20horizontal%20axis%20by%20%24%7Ca%7C%3D%7Babs(_a_note_l)%3A.1f%7D%24%20reduces%20the%20density%20height%20by%20%241%2F%7Ca%7C%3D%7B1%2Fabs(_a_note_l)%3A.2f%7D%24%2C%20so%20the%20total%20area%20remains%20one.%20The%20sign%20of%20%24a%24%20changes%20orientation%20but%20not%20density%20height.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22success%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203%20%C2%B7%20Continuous%20random%20variable%20with%20a%20piecewise-linear%20mapping%0A%0A%20%20%20%20Now%20%24X%5Csim%5Coperatorname%7BUniform%7D(-3%2C3)%24.%20Each%20colored%20interval%20is%20a%20linear%20branch.%20Its%20probability%20contribution%20is%20divided%20by%20the%20magnitude%20of%20its%20local%20slope%3B%20overlapping%20branch%20contributions%20add.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20piecewise_mapping%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Monotone%3A%20local%20stretch%20and%20compression%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Fold%3A%20several%20branches%20arrive%20together%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Flat%20middle%3A%20an%20interval%20collapses%20to%20an%20atom%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Fold%3A%20several%20branches%20arrive%20together%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Choose%20the%20piecewise-linear%20map%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20piecewise_probe%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D-2.8%2C%20stop%3D2.8%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D0.5%2C%20label%3D%22Guide%20input%20x%E2%98%85%22)%0A%20%20%20%20piecewise_guides%20%3D%20mo.ui.checkbox(value%3DTrue%2C%20label%3D%22Draw%20all%20inverse-branch%20guides%22)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bpiecewise_mapping%2C%20piecewise_probe%2C%20piecewise_guides%5D%2C%20widths%3D%5B2%2C%201%2C%201%5D)%0A%20%20%20%20return%20piecewise_guides%2C%20piecewise_mapping%2C%20piecewise_probe%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_BRANCH%2C%0A%20%20%20%20C_FILL%2C%0A%20%20%20%20C_MAP%2C%0A%20%20%20%20C_X%2C%0A%20%20%20%20C_Y%2C%0A%20%20%20%20ConnectionPatch%2C%0A%20%20%20%20clean_axis%2C%0A%20%20%20%20evaluate_piecewise%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20piecewise_guides%2C%0A%20%20%20%20piecewise_mapping%2C%0A%20%20%20%20piecewise_probe%2C%0A%20%20%20%20piecewise_spec%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20positive_density_ticks%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_xk_p%2C%20_yk_p%20%3D%20piecewise_spec(piecewise_mapping.value)%0A%20%20%20%20_x_p%20%3D%20np.linspace(-3.0%2C%203.0%2C%20900)%0A%20%20%20%20_gx_p%20%3D%20evaluate_piecewise(_x_p%2C%20_xk_p%2C%20_yk_p)%0A%20%20%20%20_probe_x_p%20%3D%20piecewise_probe.value%0A%20%20%20%20_probe_y_p%20%3D%20float(evaluate_piecewise(np.array(%5B_probe_x_p%5D)%2C%20_xk_p%2C%20_yk_p)%5B0%5D)%0A%20%20%20%20_ymin_p%2C%20_ymax_p%20%3D%20_yk_p.min()%20-%200.45%2C%20_yk_p.max()%20%2B%200.45%0A%20%20%20%20_y_p%20%3D%20np.linspace(_ymin_p%2C%20_ymax_p%2C%201000)%0A%20%20%20%20_contrib_p%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_atoms_p%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_slopes_p%20%3D%20np.diff(_yk_p)%20%2F%20np.diff(_xk_p)%0A%20%20%20%20for%20_j_p%2C%20_slope_p%20in%20enumerate(_slopes_p)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lo_p%2C%20_hi_p%20%3D%20sorted((_yk_p%5B_j_p%5D%2C%20_yk_p%5B_j_p%20%2B%201%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_slope_p)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_atoms_p.append((_lo_p%2C%20(_xk_p%5B_j_p%20%2B%201%5D%20-%20_xk_p%5B_j_p%5D)%20%2F%206.0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_contrib_p.append(np.zeros_like(_y_p))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_contrib_p.append(np.where((_y_p%20%3E%3D%20_lo_p)%20%26%20(_y_p%20%3C%3D%20_hi_p)%2C%20(1.0%20%2F%206.0)%20%2F%20abs(_slope_p)%2C%200.0))%0A%20%20%20%20_total_p%20%3D%20np.sum(_contrib_p%2C%20axis%3D0)%0A%0A%20%20%20%20_roots_p%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_flat_interval_p%20%3D%20None%0A%20%20%20%20for%20_j_p%2C%20_slope_p%20in%20enumerate(_slopes_p)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lo_p%2C%20_hi_p%20%3D%20sorted((_yk_p%5B_j_p%5D%2C%20_yk_p%5B_j_p%20%2B%201%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_slope_p)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_probe_y_p%20-%20_yk_p%5B_j_p%5D)%20%3C%201e-9%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_flat_interval_p%20%3D%20(_xk_p%5B_j_p%5D%2C%20_xk_p%5B_j_p%20%2B%201%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_roots_p.extend(%5B_xk_p%5B_j_p%5D%2C%20_xk_p%5B_j_p%20%2B%201%5D%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20_lo_p%20-%201e-9%20%3C%3D%20_probe_y_p%20%3C%3D%20_hi_p%20%2B%201e-9%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_root_p%20%3D%20_xk_p%5B_j_p%5D%20%2B%20(_probe_y_p%20-%20_yk_p%5B_j_p%5D)%20%2F%20_slope_p%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_roots_p.append(float(_root_p))%0A%20%20%20%20_roots_p%20%3D%20sorted(set(round(_r_p%2C%208)%20for%20_r_p%20in%20_roots_p))%0A%20%20%20%20_probe_density_p%20%3D%20float(_total_p%5Bnp.argmin(np.abs(_y_p%20-%20_probe_y_p))%5D)%0A%0A%20%20%20%20_fig_p%20%3D%20plt.figure(figsize%3D(12.8%2C%207.2))%0A%20%20%20%20_gs_p%20%3D%20_fig_p.add_gridspec(2%2C%202%2C%20width_ratios%3D%5B1.35%2C%201.0%5D%2C%20height_ratios%3D%5B1.35%2C%201.0%5D%2C%20hspace%3D0.16%2C%20wspace%3D0.12)%0A%20%20%20%20_ax_map_p%20%3D%20_fig_p.add_subplot(_gs_p%5B0%2C%200%5D)%0A%20%20%20%20_ax_x_p%20%3D%20_fig_p.add_subplot(_gs_p%5B1%2C%200%5D%2C%20sharex%3D_ax_map_p)%0A%20%20%20%20_ax_y_p%20%3D%20_fig_p.add_subplot(_gs_p%5B0%2C%201%5D%2C%20sharey%3D_ax_map_p)%0A%20%20%20%20_ax_note_p%20%3D%20_fig_p.add_subplot(_gs_p%5B1%2C%201%5D)%0A%0A%20%20%20%20for%20_j_p%20in%20range(3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mask_seg_p%20%3D%20(_x_p%20%3E%3D%20_xk_p%5B_j_p%5D)%20%26%20(_x_p%20%3C%3D%20_xk_p%5B_j_p%20%2B%201%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_map_p.plot(_x_p%5B_mask_seg_p%5D%2C%20_gx_p%5B_mask_seg_p%5D%2C%20color%3DC_BRANCH%5B_j_p%5D%2C%20lw%3D4%2C%20label%3Drf%22slope%20%24%7B_slopes_p%5B_j_p%5D%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20if%20_flat_interval_p%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_map_p.axvspan(*_flat_interval_p%2C%20color%3DC_FILL%2C%20alpha%3D0.18%2C%20label%3D%22whole%20interval%20maps%20here%22)%0A%20%20%20%20_ax_map_p.scatter(_roots_p%2C%20np.full(len(_roots_p)%2C%20_probe_y_p)%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D68%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_map_p.axhline(0%2C%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_map_p.axvline(0%2C%20color%3D%22%239ca3af%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_map_p.set(xlim%3D(-3.35%2C%203.35)%2C%20ylim%3D(_ymin_p%2C%20_ymax_p)%2C%20title%3Dr%22Piecewise%20mapping%20%24y%3Dg(x)%24%22%2C%20ylabel%3Dr%22output%20%24y%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_map_p.tick_params(labelbottom%3DFalse)%0A%20%20%20%20_ax_map_p.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D9%2C%20ncol%3D2)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_map_p)%0A%0A%20%20%20%20_ax_x_p.plot(%5B-3%2C%203%5D%2C%20%5B1%2F6%2C%201%2F6%5D%2C%20color%3DC_X%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20_ax_x_p.fill_between(%5B-3%2C%203%5D%2C%20%5B1%2F6%2C%201%2F6%5D%2C%20color%3DC_X%2C%20alpha%3D0.18)%0A%20%20%20%20_ax_x_p.scatter(_roots_p%2C%20np.full(len(_roots_p)%2C%201%2F6)%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D55%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_x_p.set(xlim%3D(-3.35%2C%203.35)%2C%20ylim%3D(0%2C%200.34)%2C%20title%3Dr%22Source%20density%20%24f_X(x)%24%22%2C%20xlabel%3Dr%22input%20%24x%24%22%2C%20ylabel%3D%22density%22)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_x_p)%0A%0A%20%20%20%20for%20_j_p%2C%20_branch_p%20in%20enumerate(_contrib_p)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(_branch_p%20%3E%200)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_y_p.fill_betweenx(_y_p%2C%20-_branch_p%2C%200%2C%20color%3DC_BRANCH%5B_j_p%5D%2C%20alpha%3D0.16)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_y_p.plot(-_branch_p%2C%20_y_p%2C%20color%3DC_BRANCH%5B_j_p%5D%2C%20lw%3D1.3%2C%20alpha%3D0.9)%0A%20%20%20%20_ax_y_p.plot(-_total_p%2C%20_y_p%2C%20color%3DC_Y%2C%20lw%3D3%2C%20label%3D%22sum%20of%20branches%22)%0A%20%20%20%20if%20not%20_atoms_p%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_y_p.scatter(%5B-_probe_density_p%5D%2C%20%5B_probe_y_p%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D62%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20for%20_atom_y_p%2C%20_atom_mass_p%20in%20_atoms_p%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_y_p.annotate(%22%22%2C%20xy%3D(-0.02%2C%20_atom_y_p)%2C%20xytext%3D(-max(0.5%2C%201.15%20*%20_total_p.max())%2C%20_atom_y_p)%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22-%7C%3E%22%2C%20color%3DC_Y%2C%20lw%3D3))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_y_p.text(-max(0.5%2C%201.15%20*%20_total_p.max())%2C%20_atom_y_p%20%2B%200.08%2C%20rf%22atom%20mass%20%24%7B_atom_mass_p%3A.2f%7D%24%22%2C%20color%3DC_Y%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_p.axvline(0%2C%20color%3DC_MAP%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20_ax_y_p.set(xlim%3D(-max(0.5%2C%201.18%20*%20max(_total_p.max()%2C%200.4))%2C%200.025)%2C%20ylim%3D(_ymin_p%2C%20_ymax_p)%2C%20title%3Dr%22Target%20law%20%24f_Y(y)%24%20(plus%20atoms)%22%2C%20xlabel%3D%22density%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_p.yaxis.tick_right()%0A%20%20%20%20_ax_y_p.yaxis.set_label_position(%22right%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_p.set_ylabel(r%22output%20%24y%24%22)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_y_p)%0A%20%20%20%20positive_density_ticks(_ax_y_p)%0A%0A%20%20%20%20if%20piecewise_guides.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_root_p%20in%20_roots_p%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_p.add_artist(ConnectionPatch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyA%3D(_root_p%2C%200)%2C%20coordsA%3D_ax_x_p.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyB%3D(_root_p%2C%20_probe_y_p)%2C%20coordsB%3D_ax_map_p.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_FILL%2C%20lw%3D1.8%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.82%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_p.add_artist(ConnectionPatch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyA%3D(_roots_p%5B-1%5D%20if%20_roots_p%20else%20_probe_x_p%2C%20_probe_y_p)%2C%20coordsA%3D_ax_map_p.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyB%3D(0%2C%20_probe_y_p)%2C%20coordsB%3D_ax_y_p.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_FILL%2C%20lw%3D2.0%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.9%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_ax_note_p.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20_ax_note_p.text(0.04%2C%200.83%2C%20rf%22Selected%20output%20%24y_%5Cstar%3D%7B_probe_y_p%3A.2f%7D%24%22%2C%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D%22bold%22%2C%20transform%3D_ax_note_p.transAxes)%0A%20%20%20%20if%20_flat_interval_p%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_preimage_note_p%20%3D%20rf%22inverse%20branches%3A%20%24%7Blen(_roots_p)%7D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_explanation_note_p%20%3D%20%22Each%20vertical%20guide%20finds%20an%20input%5Cnthat%20reaches%20the%20same%20output.%20Their%5Cndensity%20contributions%20add%20on%20the%20right.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_formula_note_p%20%3D%20r%22%24f_Y(y)%3D%5Csum_%5Cnu%20f_X(x_%5Cnu)%2F%7Cg'(x_%5Cnu)%7C%24%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_preimage_note_p%20%3D%20rf%22preimage%3A%20the%20interval%20%24%5B%7B_flat_interval_p%5B0%5D%3A.0f%7D%2C%7B_flat_interval_p%5B1%5D%3A.0f%7D%5D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_explanation_note_p%20%3D%20%22Every%20point%20in%20the%20shaded%20input%20interval%5Cncollapses%20to%20one%20output%20value%2C%20creating%5Cna%20discrete%20probability%20mass.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_formula_note_p%20%3D%20rf%22%24P(Y%3D%7B_probe_y_p%3A.1f%7D)%3D2%2F6%3D1%2F3%24%22%0A%20%20%20%20_ax_note_p.text(0.04%2C%200.59%2C%20_preimage_note_p%2C%20fontsize%3D12%2C%20transform%3D_ax_note_p.transAxes)%0A%20%20%20%20_ax_note_p.text(0.04%2C%200.39%2C%20_explanation_note_p%2C%20fontsize%3D11%2C%20linespacing%3D1.5%2C%20transform%3D_ax_note_p.transAxes%2C%20va%3D%22top%22)%0A%20%20%20%20_ax_note_p.text(0.04%2C%200.02%2C%20_formula_note_p%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3DC_Y%2C%20transform%3D_ax_note_p.transAxes)%0A%0A%20%20%20%20_fig_p.suptitle(%22Piecewise-linear%20mapping%3A%20inverse%20branches%20become%20visible%20geometry%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_fig_p.subplots_adjust(top%3D0.90%2C%20bottom%3D0.09%2C%20left%3D0.07%2C%20right%3D0.94)%0A%20%20%20%20_fig_p%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20piecewise_mapping%2C%20piecewise_spec)%3A%0A%20%20%20%20_xk_note_p%2C%20_yk_note_p%20%3D%20piecewise_spec(piecewise_mapping.value)%0A%20%20%20%20_slopes_note_p%20%3D%20np.diff(_yk_note_p)%20%2F%20np.diff(_xk_note_p)%0A%20%20%20%20_branch_rows_p%20%3D%20%22%20%20%5Cn%22.join(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22-%20Branch%20%7Bj%2B1%7D%3A%20%24g'%3D%7Bs%3A.2f%7D%24%22%20%2B%20(rf%22%20%E2%86%92%20density%20multiplier%20%241%2F%7Cg'%7C%3D%7B1%2Fabs(s)%3A.2f%7D%24%22%20if%20abs(s)%20%3E%201e-12%20else%20r%22%20%E2%86%92%20an%20interval%20collapses%20to%20one%20output%20value%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%2C%20s%20in%20enumerate(_slopes_note_p)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20Whenever%20%24y%3Dg(x)%24%20has%20finitely%20many%20preimages%20%24x_%5Cnu%24%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24f_Y(y)%3D%5Csum_%5Cnu%20%5Cfrac%7B%7Bf_X(x_%5Cnu)%7D%7D%7B%7B%7Cg'(x_%5Cnu)%7C%7D%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%7B_branch_rows_p%7D%0A%0A%20%20%20%20The%20translucent%20curves%20are%20the%20separate%20branch%20contributions%3B%20the%20red%20curve%20is%20their%20sum.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204%20%C2%B7%20General%20mapping%3A%20the%20CDF%20preimage%20method%0A%0A%20%20%20%20The%20branch%20formula%20is%20convenient%20only%20where%20inverse%20branches%20and%20derivatives%20behave%20well.%20The%20CDF%20relation%20works%20for%20**every**%20mapping%20in%20this%20notebook%2C%20including%20folds%20and%20flat%20regions%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24F_Y(y)%3D%5Cmathbb%20P%5C%7Bg(X)%5Cleq%20y%5C%7D%3D%5Cint_%7B%5C%7Bx%3A%5C%2Cg(x)%5Cleq%20y%5C%7D%7D%20f_X(x)%5C%2C%5Cmathrm%20dx.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Choose%20a%20map%20and%20sweep%20the%20threshold%20%24y%24.%20The%20same%20selected%20preimage%20appears%20in%20the%20mapping%20panel%2C%20under%20%24f_X%24%2C%20and%20as%20one%20point%20on%20%24F_Y%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20general_mapping%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Quadratic%20fold%3A%20g(x)%20%3D%20x%C2%B2%2F2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Sinusoidal%20folds%3A%20g(x)%20%3D%201.6%20sin(1.25x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Limiter%20with%20flat%20tails%3A%20g(x)%20%3D%20clip(x%2C%20%E2%88%921%2C%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Smooth%20non-monotone%3A%20g(x)%20%3D%200.22x%C2%B3%20%E2%88%92%20x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Quadratic%20fold%3A%20g(x)%20%3D%20x%C2%B2%2F2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22General%20mapping%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20general_threshold%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D-2.5%2C%20stop%3D4.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D1.0%2C%20label%3D%22CDF%20threshold%20y%22)%0A%20%20%20%20general_probe%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D-3.5%2C%20stop%3D3.5%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.4%2C%20label%3D%22Guide%20input%20x%E2%98%85%22)%0A%20%20%20%20general_guides%20%3D%20mo.ui.checkbox(value%3DTrue%2C%20label%3D%22Draw%20axis-to-axis%20guides%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bgeneral_mapping%2C%20general_threshold%5D%2C%20widths%3D%22equal%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bgeneral_probe%2C%20general_guides%5D%2C%20widths%3D%5B2%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20general_guides%2C%20general_mapping%2C%20general_probe%2C%20general_threshold%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_FILL%2C%0A%20%20%20%20C_MAP%2C%0A%20%20%20%20C_X%2C%0A%20%20%20%20C_Y%2C%0A%20%20%20%20ConnectionPatch%2C%0A%20%20%20%20clean_axis%2C%0A%20%20%20%20general_guides%2C%0A%20%20%20%20general_map%2C%0A%20%20%20%20general_mapping%2C%0A%20%20%20%20general_probe%2C%0A%20%20%20%20general_threshold%2C%0A%20%20%20%20normal_pdf%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20positive_density_ticks%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_x_g%20%3D%20np.linspace(-4.5%2C%204.5%2C%205001)%0A%20%20%20%20_fx_g%20%3D%20normal_pdf(_x_g)%0A%20%20%20%20_dx_g%20%3D%20_x_g%5B1%5D%20-%20_x_g%5B0%5D%0A%20%20%20%20_w_g%20%3D%20_fx_g%20*%20_dx_g%0A%20%20%20%20_w_g%20%3D%20_w_g%20%2F%20_w_g.sum()%0A%20%20%20%20_gx_g%20%3D%20general_map(general_mapping.value%2C%20_x_g)%0A%20%20%20%20_thr_g%20%3D%20general_threshold.value%0A%20%20%20%20_probe_x_g%20%3D%20general_probe.value%0A%20%20%20%20_probe_y_g%20%3D%20float(general_map(general_mapping.value%2C%20np.array(%5B_probe_x_g%5D))%5B0%5D)%0A%20%20%20%20_mask_g%20%3D%20_gx_g%20%3C%3D%20_thr_g%0A%20%20%20%20_F_at_thr_g%20%3D%20float(_w_g%5B_mask_g%5D.sum())%0A%0A%20%20%20%20_order_g%20%3D%20np.argsort(_gx_g)%0A%20%20%20%20_y_sorted_g%20%3D%20_gx_g%5B_order_g%5D%0A%20%20%20%20_F_sorted_g%20%3D%20np.cumsum(_w_g%5B_order_g%5D)%0A%20%20%20%20if%20general_mapping.value.startswith(%22Quadratic%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_lo_g%2C%20_y_hi_g%20%3D%20-0.3%2C%205.0%0A%20%20%20%20elif%20general_mapping.value.startswith(%22Limiter%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_lo_g%2C%20_y_hi_g%20%3D%20-1.45%2C%201.45%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pad_g%20%3D%200.12%20*%20max(1.0%2C%20_gx_g.max()%20-%20_gx_g.min())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_lo_g%2C%20_y_hi_g%20%3D%20_gx_g.min()%20-%20_pad_g%2C%20_gx_g.max()%20%2B%20_pad_g%0A%0A%20%20%20%20_hist_g%2C%20_edges_g%20%3D%20np.histogram(_gx_g%2C%20bins%3D140%2C%20range%3D(_y_lo_g%2C%20_y_hi_g)%2C%20weights%3D_w_g%2C%20density%3DFalse)%0A%20%20%20%20_width_g%20%3D%20_edges_g%5B1%5D%20-%20_edges_g%5B0%5D%0A%20%20%20%20_density_g%20%3D%20_hist_g%20%2F%20_width_g%0A%20%20%20%20_centers_g%20%3D%200.5%20*%20(_edges_g%5B%3A-1%5D%20%2B%20_edges_g%5B1%3A%5D)%0A%20%20%20%20_probe_density_g%20%3D%20float(_density_g%5Bnp.clip(np.searchsorted(_edges_g%2C%20_probe_y_g)%20-%201%2C%200%2C%20len(_density_g)%20-%201)%5D)%0A%0A%20%20%20%20_fig_g%20%3D%20plt.figure(figsize%3D(12.8%2C%208.0))%0A%20%20%20%20_gs_g%20%3D%20_fig_g.add_gridspec(2%2C%202%2C%20width_ratios%3D%5B1.35%2C%201.0%5D%2C%20height_ratios%3D%5B1.35%2C%201.0%5D%2C%20hspace%3D0.30%2C%20wspace%3D0.12)%0A%20%20%20%20_ax_map_g%20%3D%20_fig_g.add_subplot(_gs_g%5B0%2C%200%5D)%0A%20%20%20%20_ax_x_g%20%3D%20_fig_g.add_subplot(_gs_g%5B1%2C%200%5D%2C%20sharex%3D_ax_map_g)%0A%20%20%20%20_ax_y_g%20%3D%20_fig_g.add_subplot(_gs_g%5B0%2C%201%5D%2C%20sharey%3D_ax_map_g)%0A%20%20%20%20_ax_cdf_g%20%3D%20_fig_g.add_subplot(_gs_g%5B1%2C%201%5D)%0A%0A%20%20%20%20_ax_map_g.plot(_x_g%2C%20_gx_g%2C%20color%3DC_MAP%2C%20lw%3D2.6)%0A%20%20%20%20_ax_map_g.axhline(_thr_g%2C%20color%3DC_Y%2C%20lw%3D2%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3Drf%22CDF%20threshold%20%24y%3D%7B_thr_g%3A.2f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_map_g.fill_between(_x_g%2C%20_gx_g%2C%20_thr_g%2C%20where%3D_mask_g%2C%20color%3DC_FILL%2C%20alpha%3D0.28%2C%20interpolate%3DTrue)%0A%20%20%20%20_ax_map_g.scatter(%5B_probe_x_g%5D%2C%20%5B_probe_y_g%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D78%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_map_g.set(xlim%3D(-4.5%2C%204.5)%2C%20ylim%3D(_y_lo_g%2C%20_y_hi_g)%2C%20title%3Dr%22Mapping%20%24y%3Dg(x)%24%20and%20CDF%20preimage%22%2C%20ylabel%3Dr%22output%20%24y%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_map_g.tick_params(labelbottom%3DFalse)%0A%20%20%20%20_ax_map_g.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_map_g)%0A%0A%20%20%20%20_ax_x_g.plot(_x_g%2C%20_fx_g%2C%20color%3DC_X%2C%20lw%3D2.7)%0A%20%20%20%20_ax_x_g.fill_between(_x_g%2C%20_fx_g%2C%20where%3D_mask_g%2C%20color%3DC_FILL%2C%20alpha%3D0.48%2C%20interpolate%3DTrue%2C%20label%3Drf%22included%20mass%20%3D%20%7B_F_at_thr_g%3A.3f%7D%22)%0A%20%20%20%20_ax_x_g.scatter(%5B_probe_x_g%5D%2C%20%5Bfloat(normal_pdf(np.array(%5B_probe_x_g%5D))%5B0%5D)%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D62%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_x_g.set(xlim%3D(-4.5%2C%204.5)%2C%20ylim%3D(0%2C%200.44)%2C%20title%3Dr%22Source%20density%20%24f_X(x)%24%22%2C%20xlabel%3Dr%22input%20%24x%24%22%2C%20ylabel%3D%22density%22)%0A%20%20%20%20_ax_x_g.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_x_g)%0A%0A%20%20%20%20_ax_y_g.barh(_centers_g%2C%20-_density_g%2C%20height%3D0.94%20*%20_width_g%2C%20color%3DC_Y%2C%20alpha%3D0.68)%0A%20%20%20%20_ax_y_g.scatter(%5B-_probe_density_g%5D%2C%20%5B_probe_y_g%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D62%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_y_g.axvline(0%2C%20color%3DC_MAP%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20_ax_y_g.set(xlim%3D(-max(0.7%2C%201.08%20*%20np.quantile(_density_g%2C%200.99))%2C%200.03)%2C%20ylim%3D(_y_lo_g%2C%20_y_hi_g)%2C%20title%3Dr%22Target%20density%20%24f_Y(y)%24%20(numerical)%22%2C%20xlabel%3D%22density%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_g.yaxis.tick_right()%0A%20%20%20%20_ax_y_g.yaxis.set_label_position(%22right%22)%0A%20%20%20%20_ax_y_g.set_ylabel(r%22output%20%24y%24%22)%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_y_g)%0A%20%20%20%20positive_density_ticks(_ax_y_g)%0A%0A%20%20%20%20_ax_cdf_g.plot(_y_sorted_g%2C%20_F_sorted_g%2C%20color%3DC_Y%2C%20lw%3D2.8)%0A%20%20%20%20_ax_cdf_g.scatter(%5B_thr_g%5D%2C%20%5B_F_at_thr_g%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20edgecolor%3DC_MAP%2C%20s%3D85%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20_ax_cdf_g.plot(%5B_thr_g%2C%20_thr_g%5D%2C%20%5B0%2C%20_F_at_thr_g%5D%2C%20color%3DC_FILL%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20_ax_cdf_g.set(title%3Drf%22%24F_Y(%7B_thr_g%3A.2f%7D)%3D%7B_F_at_thr_g%3A.3f%7D%24%22%2C%20xlabel%3Dr%22threshold%20%24y%24%22%2C%20ylabel%3Dr%22%24F_Y(y)%24%22%2C%20xlim%3D(_y_lo_g%2C%20_y_hi_g)%2C%20ylim%3D(-0.03%2C%201.03))%0A%20%20%20%20clean_axis(_ax_cdf_g)%0A%0A%20%20%20%20if%20general_guides.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_g.add_artist(ConnectionPatch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyA%3D(_probe_x_g%2C%200)%2C%20coordsA%3D_ax_x_g.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyB%3D(_probe_x_g%2C%20_probe_y_g)%2C%20coordsB%3D_ax_map_g.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_FILL%2C%20lw%3D2.0%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.9%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_g.add_artist(ConnectionPatch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyA%3D(_probe_x_g%2C%20_probe_y_g)%2C%20coordsA%3D_ax_map_g.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xyB%3D(0%2C%20_probe_y_g)%2C%20coordsB%3D_ax_y_g.transData%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3DC_FILL%2C%20lw%3D2.0%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.9%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig_g.suptitle(rf%22%7Bgeneral_mapping.value%7D%20with%20%24X%5Csim%5Cmathcal%7B%7BN%7D%7D(0%2C1)%24%22%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_fig_g.subplots_adjust(top%3D0.91%2C%20bottom%3D0.08%2C%20left%3D0.07%2C%20right%3D0.94)%0A%20%20%20%20_fig_g%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(general_map%2C%20general_mapping%2C%20general_threshold%2C%20mo%2C%20normal_pdf%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_x_note_g%20%3D%20np.linspace(-4.5%2C%204.5%2C%205001)%0A%20%20%20%20_w_note_g%20%3D%20normal_pdf(_x_note_g)%0A%20%20%20%20_w_note_g%20%3D%20_w_note_g%20%2F%20_w_note_g.sum()%0A%20%20%20%20_gx_note_g%20%3D%20general_map(general_mapping.value%2C%20_x_note_g)%0A%20%20%20%20_thr_note_g%20%3D%20general_threshold.value%0A%20%20%20%20_F_note_g%20%3D%20float(_w_note_g%5B_gx_note_g%20%3C%3D%20_thr_note_g%5D.sum())%0A%20%20%20%20_shape_note_g%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20flat%20tails%20collapse%20continuous%20input%20regions%20to%20y%20%3D%20%E2%88%921%20and%20y%20%3D%201%2C%20so%20the%20output%20is%20mixed%3A%20a%20continuous%20part%20plus%20two%20atoms.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20general_mapping.value.startswith(%22Limiter%22)%20else%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Several%20disconnected%20input%20intervals%20may%20belong%20to%20the%20same%20preimage%3B%20the%20CDF%20method%20automatically%20collects%20all%20of%20their%20probability.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20At%20the%20current%20threshold%2C%20the%20orange%20input%20region%20has%20probability%0A%0A%20%20%20%20%24%24F_Y(%7B_thr_note_g%3A.2f%7D)%3D%5Cmathbb%20P%5Cbigl(g(X)%5Cleq%20%7B_thr_note_g%3A.2f%7D%5Cbigr)%3D%7B_F_note_g%3A.3f%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20**%7B_shape_note_g%7D**%20The%20density%20panel%20is%20a%20numerical%20derivative-like%20view%3B%20the%20CDF%20panel%20remains%20the%20reliable%20master%20description%20even%20at%20jumps%20or%20singular%20points.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20One%20rule%2C%20four%20views%0A%0A%20%20%20%20-%20**Discrete%3A**%20collect%20all%20masses%20whose%20inputs%20map%20to%20the%20same%20%24y%24.%0A%20%20%20%20-%20**Linear%20continuous%3A**%20a%20global%20slope%20scales%20width%20by%20%24%7Ca%7C%24%20and%20density%20by%20%241%2F%7Ca%7C%24.%0A%20%20%20%20-%20**Piecewise%20linear%3A**%20do%20that%20locally%20on%20every%20inverse%20branch%2C%20then%20add%3B%20a%20zero%20slope%20creates%20an%20atom.%0A%20%20%20%20-%20**General%3A**%20start%20from%20%24%5C%7Bx%3Ag(x)%5Cleq%20y%5C%7D%24%20and%20compute%20%24F_Y(y)%24.%20Differentiation%20is%20optional%20and%20only%20valid%20where%20the%20CDF%20is%20smooth.%0A%0A%20%20%20%20The%20recurring%20principle%20is%20conservation%20of%20probability%3A%20a%20deterministic%20function%20relocates%20probability%20mass%20but%20does%20not%20change%20its%20total.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A