wiener smoothing filtering prediction interactive

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22default%22)%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Smoothing%2C%20filtering%2C%20and%20prediction%20%E2%80%94%20a%20ballistic%20flight%0A%0A%20%20%20%20A%20projectile%20follows%20a%20smooth%20parabolic%20path%3A%20constant%20velocity%20horizontally%2C%20constant%20downward%20acceleration%20%24g%24%20vertically.%20We%20never%20see%20the%20true%20position%20%24U%5Bk%5D%3D(x%5Bk%5D%2Cy%5Bk%5D)%24%20directly%20%E2%80%94%20only%20**noisy%20measurements**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20X%5Bk%5D%20%3D%20U%5Bk%5D%20%2B%20N%5Bk%5D%2C%20%5Cqquad%20N%20%5Cperp%20U.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20From%20a%20**window**%20of%20the%20%24L%24%20most%20recent%20measurements%20we%20fit%20the%20ballistic%20model%20%E2%80%94%20a%20degree-%24d%24%20polynomial%20in%20time%20%E2%80%94%20by%20least%20squares.%20That%20fit%20*is*%20a%20linear%20filter%20over%20the%20window%3A%20a%20fixed%20set%20of%20weights%20%24h_%5Ctau%5Bj%5D%24%20applied%20to%20the%20observations%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cwidehat%7BU%7D%5Bk%2B%5Ctau%5D%20%3D%20%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7BL-1%7D%20h_%5Ctau%5Bj%5D%5C%2C%20X%5Bk-j%5D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Reading%20the%20fit%20off%20at%20a%20**lag**%20%24%5Ctau%24%20relative%20to%20the%20newest%20measurement%20names%20the%20task%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ctau%24%20%7C%20task%20%7C%20where%20the%20target%20sits%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--%7C--%7C--%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ctau%20%3C%200%24%20%7C%20**smoothing**%20%7C%20a%20past%20point%20*inside*%20the%20window%20(interpolation)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ctau%20%3D%200%24%20%7C%20**filtering**%20%7C%20the%20newest%20measured%20point%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ctau%20%3E%200%24%20%7C%20**prediction**%20%7C%20a%20*future*%20point%20%E2%80%94%20where%20the%20ball%20is%20going%20(extrapolation)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20weights%20come%20from%20the%20same%20normal%20equations%20as%20regression%2C%20indexed%20by%20lag%20%E2%80%94%20one%20optimal%20linear%20filter%2C%20three%20tasks.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Ballistic%20flight%20sampled%20at%20unit%20time%20steps%3A%20constant%20horizontal%20velocity%2C%20constant%0A%20%20%20%20%23%20downward%20acceleration%20g.%20Fixed%20launch%20so%20the%20picture%20is%20reproducible.%0A%20%20%20%20g%20%3D%209.81%0A%20%20%20%20dt%20%3D%200.12%0A%20%20%20%20launch_speed%20%3D%2030.0%0A%20%20%20%20launch_angle_deg%20%3D%2062.0%0A%0A%20%20%20%20_angle%20%3D%20np.deg2rad(launch_angle_deg)%0A%20%20%20%20_vx%20%3D%20launch_speed%20*%20np.cos(_angle)%0A%20%20%20%20_vy%20%3D%20launch_speed%20*%20np.sin(_angle)%0A%0A%20%20%20%20_flight_time%20%3D%202.0%20*%20_vy%20%2F%20g%0A%20%20%20%20n_steps%20%3D%20int(np.floor(_flight_time%20%2F%20dt))%20%2B%201%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.arange(n_steps)%20*%20dt%0A%0A%20%20%20%20x_true%20%3D%20_vx%20*%20_t%0A%20%20%20%20y_true%20%3D%20_vy%20*%20_t%20-%200.5%20*%20g%20*%20_t**2%0A%20%20%20%20return%20n_steps%2C%20x_true%2C%20y_true%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20n_steps)%3A%0A%20%20%20%20noise_std%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.2%2C%20start%3D0.0%2C%20stop%3D6.0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22Measurement-noise%20std%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20window_length%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D10%2C%20start%3D3%2C%20stop%3D20%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Window%20length%20L%20(measurements)%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20model_degree%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2%2C%20start%3D1%2C%20stop%3D3%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Model%20degree%20d%20(2%20%3D%20ballistic)%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20now_index%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D14%2C%20start%3D2%2C%20stop%3Dn_steps%20-%201%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Newest%20measured%20step%20k%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20target_lag%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D5%2C%20start%3D-15%2C%20stop%3D25%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Target%20lag%20tau%20(steps)%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20noise_seed%20%3D%20mo.ui.slider(value%3D3%2C%20start%3D0%2C%20stop%3D50%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Noise%20seed%3A%22)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20model_degree%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20noise_seed%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20noise_std%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20now_index%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20target_lag%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20window_length%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(n_steps%2C%20noise_seed%2C%20noise_std%2C%20np%2C%20x_true%2C%20y_true)%3A%0A%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(noise_seed.value)%0A%20%20%20%20x_obs%20%3D%20x_true%20%2B%20noise_std.value%20*%20rng.standard_normal(n_steps)%0A%20%20%20%20y_obs%20%3D%20y_true%20%2B%20noise_std.value%20*%20rng.standard_normal(n_steps)%0A%20%20%20%20return%20x_obs%2C%20y_obs%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20prediction_weights(length%2C%20degree%2C%20lag)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Local%20time%20coordinate%3A%20newest%20sample%20at%20s%3D0%2C%20older%20samples%20at%20s%3D-1..-(L-1).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%20%3D%20-np.arange(length%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20design%20%3D%20np.vander(s%2C%20degree%20%2B%201%2C%20increasing%3DTrue)%20%20%20%23%20columns%20s%5E0..s%5Ed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20LS%20map%20from%20window%20to%20polynomial%20coefficients%2C%20then%20evaluate%20at%20s%20%3D%20lag.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi%20%3D%20np.array(%5Bfloat(lag)%20**%20m%20for%20m%20in%20range(degree%20%2B%201)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20phi%20%40%20np.linalg.pinv(design)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20length-L%20filter%20weights%0A%0A%20%20%20%20return%20(prediction_weights%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20model_degree%2C%0A%20%20%20%20n_steps%2C%0A%20%20%20%20now_index%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20prediction_weights%2C%0A%20%20%20%20target_lag%2C%0A%20%20%20%20window_length%2C%0A%20%20%20%20x_obs%2C%0A%20%20%20%20x_true%2C%0A%20%20%20%20y_obs%2C%0A%20%20%20%20y_true%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20L%20%3D%20int(window_length.value)%0A%20%20%20%20d%20%3D%20min(int(model_degree.value)%2C%20L%20-%201)%0A%20%20%20%20k_now%20%3D%20int(np.clip(now_index.value%2C%20L%20-%201%2C%20n_steps%20-%201))%0A%20%20%20%20tau%20%3D%20int(target_lag.value)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Window%20measurements%20ordered%20newest-first%3A%20X%5Bk%5D%2C%20X%5Bk-1%5D%2C%20...%2C%20X%5Bk-(L-1)%5D.%0A%20%20%20%20x_win%20%3D%20x_obs%5Bk_now%20-%20L%20%2B%201%20%3A%20k_now%20%2B%201%5D%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20y_win%20%3D%20y_obs%5Bk_now%20-%20L%20%2B%201%20%3A%20k_now%20%2B%201%5D%5B%3A%3A-1%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Sweep%20the%20lag%20to%20trace%20the%20fitted%2Fpredicted%20trajectory%20across%20the%20flight.%0A%20%20%20%20tau_sweep%20%3D%20np.arange(-(L%20-%201)%2C%20n_steps%20-%20k_now)%0A%20%20%20%20x_fit%20%3D%20np.array(%5Bprediction_weights(L%2C%20d%2C%20t)%20%40%20x_win%20for%20t%20in%20tau_sweep%5D)%0A%20%20%20%20y_fit%20%3D%20np.array(%5Bprediction_weights(L%2C%20d%2C%20t)%20%40%20y_win%20for%20t%20in%20tau_sweep%5D)%0A%20%20%20%20k_fit%20%3D%20k_now%20%2B%20tau_sweep%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20single%20highlighted%20target%20at%20lag%20tau.%0A%20%20%20%20_h%20%3D%20prediction_weights(L%2C%20d%2C%20tau)%0A%20%20%20%20x_hat%20%3D%20float(_h%20%40%20x_win)%0A%20%20%20%20y_hat%20%3D%20float(_h%20%40%20y_win)%0A%20%20%20%20k_target%20%3D%20k_now%20%2B%20tau%0A%20%20%20%20if%200%20%3C%3D%20k_target%20%3C%20n_steps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_tgt_true%20%3D%20float(x_true%5Bk_target%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_tgt_true%20%3D%20float(y_true%5Bk_target%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20point_error%20%3D%20float(np.hypot(x_hat%20-%20x_tgt_true%2C%20y_hat%20-%20y_tgt_true))%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_tgt_true%20%3D%20np.nan%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_tgt_true%20%3D%20np.nan%0A%20%20%20%20%20%20%20%20point_error%20%3D%20np.nan%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_fit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_now%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_target%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20point_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_fit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_hat%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_tgt_true%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_win%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_fit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_hat%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_tgt_true%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_win%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20k_fit%2C%0A%20%20%20%20k_now%2C%0A%20%20%20%20k_target%2C%0A%20%20%20%20n_steps%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20point_error%2C%0A%20%20%20%20tau%2C%0A%20%20%20%20x_fit%2C%0A%20%20%20%20x_hat%2C%0A%20%20%20%20x_obs%2C%0A%20%20%20%20x_tgt_true%2C%0A%20%20%20%20x_true%2C%0A%20%20%20%20x_win%2C%0A%20%20%20%20y_fit%2C%0A%20%20%20%20y_hat%2C%0A%20%20%20%20y_obs%2C%0A%20%20%20%20y_tgt_true%2C%0A%20%20%20%20y_true%2C%0A%20%20%20%20y_win%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(12%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20ax.plot(x_true%2C%20y_true%2C%20color%3D%220.75%22%2C%20linewidth%3D2.0%2C%20label%3D%22True%20trajectory%20U%22%2C%20zorder%3D1)%0A%20%20%20%20ax.axhline(0%2C%20color%3D%220.6%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20zorder%3D0)%0A%0A%20%20%20%20ax.scatter(x_obs%2C%20y_obs%2C%20s%3D14%2C%20color%3D%220.7%22%2C%20alpha%3D0.5%2C%20zorder%3D2%2C%20label%3D%22Measurements%20X%22)%0A%20%20%20%20ax.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_win%2C%20y_win%2C%20s%3D48%2C%20color%3D%22darkorange%22%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%20label%3Df%22Window%20(L%2C%20newest%20at%20k%3D%7Bk_now%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fit%20over%20the%20window%20(solid)%20vs%20extrapolation%20ahead%20(dotted%20%3D%20prediction).%0A%20%20%20%20_past%20%3D%20k_fit%20%3C%3D%20k_now%0A%20%20%20%20ax.plot(x_fit%5B_past%5D%2C%20y_fit%5B_past%5D%2C%20color%3D%22steelblue%22%2C%20linewidth%3D2.4%2C%20zorder%3D3%2C%20label%3D%22Fit%20over%20window%22)%0A%20%20%20%20ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_fit%5B~_past%5D%2C%20y_fit%5B~_past%5D%2C%20color%3D%22steelblue%22%2C%20linewidth%3D2.4%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D3%2C%20label%3D%22Prediction%20ahead%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20if%200%20%3C%3D%20k_target%20%3C%20n_steps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bx_tgt_true%5D%2C%20%5By_tgt_true%5D%2C%20s%3D90%2C%20facecolor%3D%22none%22%2C%20edgecolor%3D%22red%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.0%2C%20zorder%3D6%2C%20label%3D%22Target%20truth%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.scatter(%5Bx_hat%5D%2C%20%5By_hat%5D%2C%20marker%3D%22*%22%2C%20s%3D230%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20zorder%3D7%2C%20label%3Df%22Estimate%20(tau%3D%7Btau%7D)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Bx_hat%2C%20x_tgt_true%5D%2C%20%5By_hat%2C%20y_tgt_true%5D%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20alpha%3D0.7%2C%20zorder%3D5)%0A%0A%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22prediction%22%20if%20tau%20%3E%200%20else%20%22filtering%22%20if%20tau%20%3D%3D%200%20else%20%22smoothing%22%0A%20%20%20%20_err%20%3D%20f%22%20%20%20point%20error%20%3D%20%7Bpoint_error%3A.2f%7D%22%20if%20np.isfinite(point_error)%20else%20%22%22%0A%20%20%20%20ax.set_title(f%22Ballistic%20flight%20%E2%80%94%20%7B_regime%7D%20(tau%20%3D%20%7Btau%7D)%7B_err%7D%22%2C%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax.set_xlabel(%22Horizontal%20position%20x%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax.set_ylabel(%22Height%20y%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20%23%20Lock%20the%20view%20to%20the%20true%20flight%20so%20a%20divergent%20far%20prediction%20clips%20off-frame%0A%20%20%20%20%23%20instead%20of%20collapsing%20the%20arc.%0A%20%20%20%20_xpad%20%3D%200.05%20*%20(float(x_true.max())%20-%20float(x_true.min()))%0A%20%20%20%20ax.set_xlim(float(x_true.min())%20-%20_xpad%2C%20float(x_true.max())%20%2B%20_xpad)%0A%20%20%20%20ax.set_ylim(min(0.0%2C%20float(y_true.min()))%20-%203.0%2C%20float(y_true.max())%20%2B%2010.0)%0A%20%20%20%20ax.set_aspect(%22equal%22%2C%20adjustable%3D%22box%22)%0A%20%20%20%20ax.legend(fontsize%3D9%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20return%20(fig%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20fig%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model_degree%2C%0A%20%20%20%20noise_seed%2C%0A%20%20%20%20noise_std%2C%0A%20%20%20%20now_index%2C%0A%20%20%20%20target_lag%2C%0A%20%20%20%20tau%2C%0A%20%20%20%20window_length%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20regime%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22prediction%20(a%20future%20point)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20tau%20%3E%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22filtering%20(the%20newest%20point)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20tau%20%3D%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22smoothing%20(a%20past%20point)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bnoise_std%2C%20window_length%2C%20model_degree%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bnow_index%2C%20target_lag%2C%20noise_seed%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Current%20task%3A%20%7Bregime%7D.**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20model_degree%2C%0A%20%20%20%20n_steps%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20prediction_weights%2C%0A%20%20%20%20window_length%2C%0A%20%20%20%20x_obs%2C%0A%20%20%20%20x_true%2C%0A%20%20%20%20y_obs%2C%0A%20%20%20%20y_true%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20L_sweep%20%3D%20int(window_length.value)%0A%20%20%20%20d_sweep%20%3D%20min(int(model_degree.value)%2C%20L_sweep%20-%201)%0A%20%20%20%20tau_grid%20%3D%20np.arange(-(L_sweep%20-%201)%2C%2021)%0A%20%20%20%20weights%20%3D%20%7Bt%3A%20prediction_weights(L_sweep%2C%20d_sweep%2C%20t)%20for%20t%20in%20tau_grid%7D%0A%0A%20%20%20%20positions%20%3D%20np.arange(L_sweep%20-%201%2C%20n_steps)%0A%20%20%20%20mse_curve%20%3D%20np.full(len(tau_grid)%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_t%20in%20enumerate(tau_grid)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_h%20%3D%20weights%5B_t%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_errs%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_k%20in%20positions%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_kt%20%3D%20_k%20%2B%20_t%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%200%20%3C%3D%20_kt%20%3C%20n_steps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_wx%20%3D%20x_obs%5B_k%20-%20L_sweep%20%2B%201%20%3A%20_k%20%2B%201%5D%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_wy%20%3D%20y_obs%5B_k%20-%20L_sweep%20%2B%201%20%3A%20_k%20%2B%201%5D%5B%3A%3A-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_errs.append((_h%20%40%20_wx%20-%20x_true%5B_kt%5D)%20**%202%20%2B%20(_h%20%40%20_wy%20-%20y_true%5B_kt%5D)%20**%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_errs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mse_curve%5B_i%5D%20%3D%20float(np.mean(_errs))%0A%20%20%20%20return%20mse_curve%2C%20tau_grid%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mse_curve%2C%20np%2C%20plt%2C%20tau_grid)%3A%0A%20%20%20%20fig_mse%2C%20ax_mse%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(12%2C%204.0))%0A%20%20%20%20ax_mse.axvspan(tau_grid%5B0%5D%20-%200.5%2C%20-0.5%2C%20color%3D%22seagreen%22%2C%20alpha%3D0.12)%0A%20%20%20%20ax_mse.axvspan(0.5%2C%20tau_grid%5B-1%5D%20%2B%200.5%2C%20color%3D%22orange%22%2C%20alpha%3D0.12)%0A%20%20%20%20%23%20Error%20spans%20several%20orders%20of%20magnitude%20from%20smoothing%20to%20far%20prediction%20%E2%80%94%20log%20scale.%0A%20%20%20%20ax_mse.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau_grid%2C%20np.maximum(mse_curve%2C%201e-4)%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20linewidth%3D2.4%2C%20marker%3D%22o%22%2C%20markersize%3D4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ax_mse.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20ax_mse.text(0.02%2C%200.9%2C%20%22smoothing%22%2C%20transform%3Dax_mse.transAxes%2C%20color%3D%22seagreen%22%2C%20fontsize%3D11%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_mse.text(0.55%2C%200.9%2C%20%22prediction%22%2C%20transform%3Dax_mse.transAxes%2C%20color%3D%22darkorange%22%2C%20fontsize%3D11%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_mse.set_title(%22Mean%20squared%20position%20error%20vs%20target%20lag%20tau%22%2C%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax_mse.set_xlabel(%22Target%20lag%20tau%20(steps)%20%20%20%5B%3C0%20past%2C%200%20now%2C%20%3E0%20future%5D%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax_mse.set_ylabel(%22MSE%20(position%2C%20log)%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20ax_mse.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20return%20(fig_mse%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fig_mse%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_mse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Moving%20**left**%20(negative%20%24%5Ctau%24%2C%20smoothing)%20the%20target%20sits%20*inside*%20the%20measured%20window%2C%20surrounded%20by%20data%2C%20so%20the%20fit%20interpolates%20and%20the%20error%20is%20small.%20Moving%20**right**%20past%20%24%5Ctau%3D0%24%20(prediction)%20the%20target%20leaves%20the%20data%20and%20the%20filter%20must%20extrapolate%20the%20ballistic%20curve%3B%20small%20errors%20in%20the%20fitted%20velocity%20and%20acceleration%20are%20amplified%20by%20the%20horizon%2C%20so%20the%20MSE%20climbs.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Key%20takeaways%0A%0A%20%20%20%201.%20**One%20filter%2C%20three%20tasks.**%20Smoothing%2C%20filtering%2C%20and%20prediction%20are%20the%20*same*%20windowed%20least-squares%20fit%20%E2%80%94%20only%20the%20lag%20%24%5Ctau%24%20at%20which%20we%20read%20it%20off%20changes.%0A%0A%20%20%20%202.%20**Smoothing%20is%20easiest%2C%20prediction%20is%20hardest.**%20A%20target%20embedded%20in%20the%20data%20is%20interpolated%3B%20a%20target%20beyond%20it%20must%20be%20extrapolated%2C%20and%20the%20error%20grows%20with%20the%20prediction%20horizon.%0A%0A%20%20%20%203.%20**The%20model%20must%20match%20the%20physics.**%20Degree%20%24d%3D2%24%20captures%20constant%20acceleration%20(gravity)%2C%20so%20it%20predicts%20the%20arc%3B%20%24d%3D1%24%20assumes%20straight-line%20motion%20and%20flies%20off%20the%20top%2C%20while%20too-high%20%24d%24%20chases%20the%20measurement%20noise.%0A%0A%20%20%20%204.%20The%20filter%20only%20uses%20**noisy%20measurements**%20and%20a%20smoothness%20model%20of%20the%20trajectory%20%E2%80%94%20it%20never%20sees%20the%20true%20position%20at%20run%20time.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A